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Faculdade de Ciências e Tecnologia

Análise Matemática I A

Código

3095

Unidade Orgânica

Faculdade de Ciências e Tecnologia

Departamento

Departamento de Matemática

Créditos

8.0

Professor responsável

Bento José Carrilho Miguens Louro

Horas semanais

6

Total de horas

78

Língua de ensino

Português

Objectivos

Pretende-se que os alunos fiquem a conhecer rigorosamente a noção de limite (de sucessões e de funções) e os principais resultados associados. É também objecto da disciplina, o cálculo diferencial numa variável incluindo o estudo analítico de funções reais de variável real.

Pré-requisitos

O aluno deve ter os conhecimentos matemáticos correspondentes à conclusão do Ensino secundário.

Conteúdo

1. Números reais.

1.1. Breve introdução aos conjuntos dos números naturais, inteiros, racionais e reais. 1.2. Algumas propriedades importantes dos números reais. Densidade dos racionais no conjunto dos reais. Módulo. Desigualdade triangular. 1.3. Noções topológicas no conjunto dos números reais: vizinhança, interior, exterior, fronteira, conjunto aberto, conjunto fechado, fecho, ponto de acumulação e ponto isolado. 1.4. Majorante, minorante, conjunto majorado, conjunto minorado e conjunto limitado. Supremo, máximo, ínfimo e mínimo. Condição equivalente para o supremo.

2. Princípio de indução matemática.

3. Sucessões de números reais.

3.1. Definição de sucessão. Sucessões limitadas. Operações elementares com sucessões. Sucessões crescentes, decrescentes e monótonas. Subsucessões. Existência de subsucessões monótonas para todas as sucessões de números reais. 3.2. Infinitamente grande e infinitamente grande em módulo. Sucessões convergentes. A recta acabada. Infinitésimo. Unicidade do limite. 3.3. Algumas propriedades das sucessões convergentes.Sucessões enquadradas. Limite da soma, da diferença, do produto e do quociente de duas sucessões. Relações entre conjunto fechado e sucessões convergentes. Convergência das sucessões monótonas limitadas. 3.4. Sublimites. Existência de sublimites das sucessões limitadas. Limite superior e limite inferior. 3.5. Sucessão de Cauchy. Equivalência entre sucessão de Cauchy e sucessão convergente.

4. Funções reais de variável real - limites e continuidade.

4.1. Domínio, contradomínio, gráfico, monotonia, extremos. Função par, ímpar, limitada. Zeros. Restrição e prolongamento. Função injectiva, sobrejectiva e bijectiva. 4.2. Limite de uma função num ponto. Limite no infinito. Limites infinitos. Unificação dos conceitos de limite usando a recta acabada. Teorema de Heine. Limite e operações elementares. 4.3. Limite da função composta. Limites relativos;-- limite por valores diferentes e limites laterais. Existência de limites laterais das funções monótonas limitadas. 4.4. Função contínua num ponto. Função contínua à esquerda e à direita. Função contínua num conjunto. Teorema de Bolzano. Teorema de Weierstrass. Prolongamento por continuidade. 4.5. Continuidade uniforme. Função lipschitziana. Continuidade uniforme e sucessões. Teorema de Cantor.

5. Funções reais de variável real - diferenciabilidade.

5.1. Derivada. Derivada à esquerda e derivada à direita. Função diferenciável. Relações entre diferenciabilidade e continuidade. Derivada e operações algébricas. 5.2. Derivada da função composta. Derivada da função inversa. Funções trigonométricas inversas e respectivas derivadas. 5.3. Função derivada. Função de classe C^n e de classe C^infinito. 5.4. Extremo local (máximo e mínimo). Condição necessária sobre as derivadas laterais para a existência de extremo local. 5.5. Teoremas de Rolle, Darboux, Lagrange e do valor médio de Cauchy. Regra de Cauchy. Regra de L''''''''Hospital. Levantamento de indeterminações. 5.6. Aplicação da Fórmula de Taylor à determinação de extremos, do sentido da concavidade e de pontos inflexão. 5.7. Assímptotas. Estudo de funções.

Bibliografia

1. Alves de Sá, A.; Louro, B. - Sucessões e Séries - Teoria e Prática, Livraria Escolar Editora, 2008.

2. Apostol, T. - Calculus, Blaisdell, 1967.

3. Campos Ferreira, J. - Introdução à Análise Matemática, Fundação Calouste Gulbenkian, 1982.

4. Ellis, R.; Gullick, D. - Calculus with Analytic Geometry, 5ª edição, Saunders College Publishing, 1994.

5. Figueira, M. - Fundamentos de Análise Infinitesimal, Textos de Matemática, vol. 5, Departamento de Matemática, Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa, 1996.

6. Hunt, R. - Calculus, 2ª edição, Harper Collins, 1994.

7. Larson, R.; Hostetler, R.; Edwards, B. - Calculus with Analytic Geometry, 5ª edição, Heath, 1994.

8. Larson, R.; Hostetler, R.; Edwards, B. - Calculo, Vol. 1, 8ª edição, McGraw-Hill, 2006.

9. Santos Guerreiro, J. - Curso de Análise Matemática, Livraria Escolar Editora, 1989.

10. Sarrico, C. - Análise Matemática, Leituras e Exercícios, Gradiva, 1997.

11. Spivak, M. - Calculus, World Student Series Edition, 1967.

12. Stewart, J. - Calculus, 3ª edição, Brooks/Cole Publishing Company, 1995.

13. Swokowski, E. W. - Cálculo com Geometria Analítica, 2ª edição, Makron Books, McGraw-Hill, 1994.

14. Taylor, A.; Mann, R. - Advanced Calculus, 2ª edição, Xerox College Publishing, 1972.

Método de ensino

As aulas são teórico-práticas e consistem em exposição da teoria, que é ilustrada com exemplos de aplicação, e em resolução de exercícios.

A quase totalidade dos resultados é apresentada com a respectiva demonstração. Omitem-se demonstrações de carácter mais técnico que, em nossa opinião não contribuem significativamente para a formação do aluno.


Estão à disposição dos alunos folhas com a exposição da teoria, exemplos e exercícios propostos. Alguns destes exercícios são resolvidos em aula. A resolução dos restantes faz parte do trabalho pessoal do aluno. Quaisquer dúvidas são esclarecidas no decorrer das aulas ou nas sessões destinadas a atendimento de alunos ou ainda em sessões combinadas directamente entre aluno e professor.

Método de avaliação

1. Requisitos

 a) Só poderão efectuar qualquer das provas os alunos que no acto da prova sejam portadores do Bilhete de Identidade e do Cartão de Estudante.

 b) Para obter classificação na disciplina, é necessário que o aluno entregue, nos prazos indicados pelo docente, dois terços dos trabalhos de casa e verifique uma das seguintes condições:

i.  tenha assistido a, pelo menos, dois terços das aulas dadas,

ii. tenha obtido frequência no ano anterior,

iii. tenha um estatuto especial (trabalhador estudante, militar, etc.),

2. Avaliação por testes

 Realizam-se dois testes durante o semestre.

 Podem apresentar-se ao primeiro teste todos os alunos inscritos na disciplina.

 Podem apresentar-se ao segundo teste os alunos que tenham obtido classificação não inferior a 7 no primeiro teste.

 A classificação dos testes, CT, obtém-se fazendo a média aritmética das classificações dos dois testes, desde que a do segundo seja também superior, ou igual, a 7.

 A classificação final, C, é igual ao máximo entre CT e 0,8*CT+0,2*M0, em que M0 é a classificação de Matemática 0.

 Nas condições do ponto 1, se C ≥ 9,5, o aluno fica aprovado. Nesta situação, se C ≤ 16,4, o aluno fica aprovado com a classificação final C, arredondada às unidades e, se C ≥ 16,5, o aluno poderá optar entre ficar com a classificação final de 16 valores ou realizar uma prova complementar para defesa de nota.

3. Época normal

 Podem apresentar-se à época normal de exame todos os alunos inscritos, e ainda não aprovados na disciplina, que estejam nas condições do ponto 1.

 A classificação final, C, é igual ao máximo entre a classificação do exame, CE, e 0,8*CE+0,2*M0, em que M0 é a classificação de Matemática 0.

 Se C ≤ 9,4 o aluno reprova.

 Se C ≥ 9,5 e C ≤ 16,4, o aluno fica aprovado com essa classificação, arredondada às unidades.

 Se C ≥ 16,5, o aluno poderá optar entre ficar com a classificação final de 16 valores ou realizar uma prova complementar para defesa de nota.

 4. Época de recurso

Podem apresentar-se à época de recurso todos os alunos inscritos, e ainda não aprovados na disciplina, que estejam nas condições do ponto 1.

A classificação final será obtida de modo idêntico à época normal.

5. Melhoria de nota

Todo o aluno que pretenda apresentar-se a melhoria de nota deve inscrever-se, para esse efeito, no CLIP.

A classificação de melhoria, CM, é igual à classificação do exame, arredondada às unidades. Se CM ≥ 16,5, aplica-se o indicado no ponto 3 em caso semelhante.

 

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