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Faculdade de Ciências e Tecnologia

Análise Complexa

Código

7813

Unidade Orgânica

Faculdade de Ciências e Tecnologia

Departamento

Departamento de Matemática

Créditos

6.0

Professor responsável

Bento José Carrilho Miguens Louro

Horas semanais

5

Total de horas

70

Língua de ensino

Português

Objectivos

Estudo dos aspectos básicos da teoria das funções de variável complexa, tendo como objectivo principal o estabelecimento da equivalência entre as quatro caracterizações do conceito de função analítica, e como outros objectivos adquirir algumas noções sobre propriedades geométricas de tipo global das funções analíticas e propriedades das singularidades isoladas das mesmas. 

Pré-requisitos

Bons conhecimentos de análise real (uma e mais variáveis), de geometria analítica no plano e da topologia usual de R2.

Conteúdo

1. Funções de variável complexa: Aritmética dos números complexos (revisão). Definição das funções elementares. Limites e continuidade. Diferenciabilidade – funções analíticas. Diferenciação das funções elementares. Funções harmónicas. Aplicações conformes.
2. Integração de funções de variável complexa – teorema de Cauchy: Integração de funções de variável complexa. Teorema de Cauchy. Fórmula integral de Cauchy. Teoremas fundamentais: teorema de Morera, desigualdades de Cauchy, teorema de Liouville, teorema fundamental da Álgebra, teorema do máximo do módulo.
3. Séries de potências; séries de Laurent: Convergência pontual e uniforme de sucessões e séries de funções. Séries de potências. Teorema de Taylor; analiticidade. Singularidades – séries de Laurent. Singularidades isoladas; classificação de singularidades isoladas.
4. Resíduos: Métodos de cálculo de resíduos. Teorema dos resíduos. Aplicação ao cálculo de integrais (reais e complexos).

Bibliografia

L. V. Ahlfors, Complex Analysis, McGraw-Hill (1979)

M. A. Carreira e M. S. Nápoles, Variável complexa - teoria elementar e exercícios resolvidos, McGraw-Hill (1998)

S. Lang, Complex Analysis, Springer (1999), ISBN 0-387-98592-1

J. E. Marsden and M. J. Hoffman, Basic Complex Analysis - Third Edition, Freeman (1999), ISBN 0-7167-2877-X 

Método de ensino

Nas aulas teóricas a teoria é exposta e são apresentados exemplos de aplicação e ilustração. Os resultados apresentados são demonstrados.

Nas aulas práticas é dada oportunidade aos alunos de trabalhar na resolução de problemas constantes de uma lista previamente disponibilizada, com o apoio do professor caso o necessitem. Os resultados relevantes ilustrados pelos exercícios são objecto de comentário do professor.

Método de avaliação

1. Testes
Realizam-se dois testes durante o semestre.

Podem apresentar-se ao primeiro teste todos os alunos inscritos na disciplina.

Podem apresentar-se ao segundo teste os alunos que tenham obtido classificação não inferior a 7,5 no primeiro teste.

A classificação dos testes obtém-se fazendo a média aritmética dos dois testes, desde que a do segundo seja superior, ou igual, a 7,5.

Se a classificação dos testes for inferior, ou igual, a 9,4 o aluno pode apresentar-se a exame.

Se a classificação dos testes for superior ou igual, a 9,5 e inferior, ou igual, a 16,4, o aluno fica aprovado com essa classificação, arredondada às unidades.

Se a classificação dos tes tes for superior, ou igual, a 16,5 o aluno poderá optar entre ficar com a classificação final de 16 e realizar uma prova complementar para defesa de nota.

 

2. Época normal

Podem apresentar-se a exame, na época normal, todos os alunos inscritos na disciplina. É anulada a classificação dos testes a todos os alunos que se apresentem a exame na época normal.

Se a classificação obtida na prova entregue for inferior, ou igual, a 9,4 o aluno reprova.

Se a classificação obtida na prova entregue for superior, ou igual, a 9,5 a classificação final é obtida de acordo com o indicado em 1.

3. Época de recurso

Todo o aluno ainda não aprovado na disciplina, pode apresentar-se a recurso. A classificação final será obtida de modo idêntico à época normal.

 

4. Melhoria de nota

Todo o aluno que pretenda apresentar-se a melhoria de nota deve inscrever-se, para esse efeito, no CLIP.

A classificação do exame de melhoria é obtida de acordo com o indicado em 2. Se este resultado for superior ao já obtido anteriormente na disciplina, será tomado como nota final. Caso contrário, não se verifica melhoria de nota.

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