Pretende-se que os alunos fiquem a conhecer rigorosamente:

1. A noção de limite de sucessões e de funções e os principais resultados associados.

2. As principais noções,  resultados e aplicações do cálculo diferencial de uma variável, incluindo o estudo analítico de funções reais de uma variável real.

1. Números reais

1.1.   Breve apresentação dos números: naturais, inteiros, racionais e reais.

1.2. Propriedades fundamentais dos números reais (noção de axiomática). Densidade dos racionais no conjunto dos reais.

1.3. Noções topológicas no conjunto dos números reais: vizinhança, interior, exterior, fronteira, conjunto aberto, conjunto fechado, fecho, ponto de acumulação e ponto isolado.

1.4. Princípio de indução matemática.

2. Sucessões de números reais

2.1. Definição de sucessão. Sucessões limitadas. Operações com sucessões. Sucessões crescentes, decrescentes e monótonas. Subsucessões. Existência de subsucessões monótonas para todas as sucessões de números reais.

2.2. Noção de limite em IR. Infinitamente grande. A recta acabada. Propriedades fundamentais dos limites.

2.3. Sublimites. Existência de sublimites das sucessões limitadas. Limite superior e limite inferior e suas propriedades.

2.4. Sucessão de Cauchy. IR como espaço completo.

3. Funções reais de variável real - limites e continuidade

3.1. Domínio, contradomínio, gráfico, monotonia, extremos. Função par, ímpar, limitada. Zeros. Restrição e prolongamento. Função injectiva, sobrejectiva e bijectiva.

3.2. Limite de uma função num ponto. Limite no infinito. Limites infinitos. Unificação dos conceitos de limite usando a recta acabada. Teorema de Heine. Limite e operações elementares.

3.3. Limite da função composta. Limites relativos: limite por valores diferentes e limites laterais. Existência de limites laterais das funções monótonas limitadas.

3.4. Função contínua num ponto. Função contínua à esquerda e à direita. Função contínua num conjunto. Teorema de Bolzano. Teorema de Weierstrass. Prolongamento por continuidade. Potenciação real.

3.5. Continuidade uniforme. Função lipschitziana. Continuidade uniforme e sucessões. Teorema de Cantor.

4. Funções reais de variável real - diferenciabilidade.

4.1. Derivada e sua interpretação física. Função diferenciável e interpretação geométrica da derivada. Relações entre diferenciabilidade e continuidade. Derivada e operações algébricas. Derivadas laterais.

4.2. Derivada da função composta. Derivada da função inversa. Funções trigonométricas inversas e respectivas derivadas.

4.3. Função derivada. Função de classe Cⁿ e infinitamente diferenciáveis.

4.4. Extremo local (máximo e mínimo). Condição necessária sobre as derivadas laterais para a existência de extremo local.

4.5. Teoremas de Rolle, Darboux, Lagrange e do valor médio de Cauchy. Regra de Cauchy. Fórmula de Taylor. Levantamento de indeterminações.

4.6. Aplicação da fórmula de Taylor à determinação de extremos, do sentido da concavidade e de pontos inflexão. Assímptotas. Estudo de funções.

1. Alves de Sá, A.; Louro, B. - Sucessões e Séries - Teoria e Prática, Livraria Escolar Editora, 2008.

2. Apostol, T. - Calculus, Blaisdell, 1967.

3. Campos Ferreira, J. - Introdução à Análise Matemática, Fundação Calouste Gulbenkian, 1982.

4. Elon Lages Lima, E. - Curso de Análise - Projecto Euclides, Rio de Janeiro.

5. Figueira, M. - Fundamentos de Análise Infinitesimal, Textos de Matemática, vol. 5, Departamento de Matemática, Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa, 1996.

6. Sarrico, C. - Análise Matemática, Leituras e Exercícios, Gradiva, 1997.

As aulas, todas teórico-práticas,  consistem na exposição da teoria, ilustrada com exemplos e aplicações, e na resolução de exercícios.

A quase totalidade dos resultados é apresentada com a respectiva demonstração. Omitem-se demonstrações de carácter mais técnico que, em nossa opinião não contribuem significativamente para a formação do aluno.

Está à disposição dos alunos  bibliografia adaptada, assim como folhas de exercícios propostos. Alguns destes exercícios são resolvidos na aula. A resolução dos restantes faz parte do trabalho pessoal do aluno. Quaisquer dúvidas são esclarecidas no decorrer das aulas ou nas sessões destinadas a atendimento de alunos.

Regras de Avaliação 

1. Requisitos

a) Só poderão efectuar qualquer das provas os alunos tenham entregue um caderno em branco na Secretaria do Departamento de Matemática até uma semana antes da data da prova e que, no acto da prova, sejam portadores do bilhete de identidade (ou do cartão de cidadão) e do cartão de estudante. 

b) Para obter classificação na disciplina é necessário que o aluno verifique, pelo menos, uma das seguintes condições: 

i) tenha assistido a, pelo menos, dois terços das aulas dadas 

ii) tenha um estatuto especial (trabalhador estudante, militar, etc.)

iii) tenha obtido frequência na disciplina no ano lectivo 2009/2010.

Os alunos que não satisfaçam, pelo menos, uma das condições i), ii), iii), estarão REPROVADOS POR FALTAS.

2. Testes:  Realizam-se dois testes durante o semestre, cada um com a duração de 90 minutos. Só podem apresentar-se a qualquer dos testes os alunos inscritos na disciplina e que tenham comparecido a, pelo menos, dois terços das aulas leccionadas até à data da sua realização. Mesmo que tenham obtido frequência em semestres anteriores, para realizar os testes é obrigatória a comparência a dois terços das aulas durante o semestre em curso.

2.1. Será aprovado por testes o aluno que, tendo em cada um deles a classificação mínima 7.5, tenha classificação média nos dois superior ou igual a 9.5. Se essa classificação média for superior ou igual a 9.5 e inferior, ou igual, a 16.4, o aluno fica aprovado com essa classificação, arredondada às unidades. Se a classificação dos testes for superior, ou igual, a 16.5 o aluno poderá optar entre (i) ficar com a classificação final de 16 (ii) submeter-se a uma prova complementar para defesa de nota. 

2.2. Se, tendo tido acesso a ambos os testes, a classificação em apenas um dos testes for inferior a 7.5, o aluno poderá, durante a época normal, realizar um novo teste sobre a matéria na qual não teve classificação suficiente, e obter aprovação segundo as regras descritas em 2.1.

3. Exame de época normal: Na época normal os alunos que tiverem acesso a ambos os testes podem melhorar a classificação de apenas um deles, obtendo nova classificação segundo as regras descritas em 2.1. Em alternativa poderão realizar a prova completa, com a duração total de 3 horas. Podem também realizar a prova completa os alunos inscritos que tenham obtido frequência no corrente semestre ou em 2009/2010 ou tenham um estatuto especial (trabalhador estudante, militar, etc.).

4. Exame de época de recurso: Todo o aluno inscrito que tenha obtido frequência no corrente semestre ou em 2009/2010, ainda não aprovado na disciplina, pode apresentar-se a recurso. A classificação final será obtida do seguinte modo: se a classificação do exame for inferior a 9.5, o aluno reprova, sendo a sua classificação final arredondada às unidades; se for superior ou igual a 9.5 e inferior, ou igual, a 16.4, o aluno fica aprovado com essa classificação, arredondada às unidades; se a classificação do exame for superior, ou igual, a 16.5 o aluno poderá optar entre (i) ficar com a classificação final de 16 (ii) submeter-se uma prova complementar para defesa de nota.