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Faculdade de Ciências e Tecnologia

Análise Numérica I

Código

7807

Unidade Orgânica

Faculdade de Ciências e Tecnologia

Departamento

Departamento de Matemática

Créditos

7.0

Professor responsável

Elvira Júlia Conceição Matias Coimbra

Horas semanais

6

Língua de ensino

Português

Objectivos

O objectivo da Análise Numérica está fundamentalmente relacionado com o desenvolvimento de métodos que permitem obter, de uma forma eficiente e usando operações aritméticas, soluções, em geral aproximadas, de problemas expressos matematicamente. Na disciplina em questão pretende-se que os alunos adquiram familiaridade com alguns dos métodos numéricos utilizados na resolução de equações não lineares, métodos de interpolação e aproximação, diferenciação e integração numérica, métodos numéricos em Álgebra Linear e resolução de problemas de equações diferenciais ordinárias, com condições iniciais. É muito importante ainda o estudo dos erros e sua propagação e a sensibilização relativamente a problemas mal condicionados e estabilidade de métodos numéricos.

Conteúdo

Programa :

1. Introdução
2. Erros(complementos) e estabilidade.
2.1. Breve revisão das noções básicas associadas à teoria dos erros. Fórmula fundamental do cálculo dos erros. Aplicações.
2.2. Erros de arredondamento associados à aritmética em vírgula flutuante.
2.3. Condicionamento e estabilidade.
3. Interpolação polinomial e por splines cúbicos.
3.1. Introdução.
3.2. Interpolação polinomial.
3.2.1. Diferenças. Aplicações
3.2.1.1. Diferenças para argumentos em progressão aritmética. Notação das diferenças ascendentes, descendentes e centrais. Diferenças divididas. Fórmulas interpoladoras com diferenças.
3.2.2. Interpolação inversa.
3.3. Interpolação de Hermite.
3.4. Interpolação por splines cúbicos.
4. Aproximação polinomial dos mínimos quadrados.
4.1. Introdução.
4.2. A aproximação dos mínimos quadrados.
4.2.1. Problemas de mínimos quadrados, caso geral. Caso discreto.
4.2.2. Cálculo de aproximações de mínimos quadrados. Equações normais. Erros de arredondamento. O problema do mau condicionamento. Escolha de funções de base.
5. Integração Numérica
5.1. Introdução.
5.2. Fórmulas de Newton-Cotes de tipo fechado e de tipo aberto. Erros de truncatura.
5.3. Fórmula de Euler-MacLaurin e aplicações.
5.4. Método de integração de Romberg.
5.5. Integração Gaussiana.
6. Complementos sobre resolução numérica de equações não lineares.
6.1. Breve revisão dos métodos numéricos básicos para a determinação de raizes simples.
6.2. Método do ponto fixo(Caso Geral).
6.2.1. Estudo do método de Newton-Raphson como caso particular do método do ponto fixo.
6.3. Ordem de convergência de um método iterativo.
6.4. Breve referência a métodos de determinação de raizes múltiplas.
7. Métodos numéricos em álgebra linear- Resolução de sistemas de equações lineares.
7.1. Introdução.
7.2. Normas de vector e de matriz.
7.3. Resolução de sistemas de equações lineares.
7.3.1. Condicionamento de um sistema.
7.3.2. Breve revisão dos métodos directos de resolução de sistemas de equações lineares.
7.3.3. Métodos iterativos de resolução de sistemas de equações lineares. Métodos iterativos(caso geral). Método de Jacobi. Método de Gauss-Seidel. Condições de convergência. Estimativa do erro.

Bibliografia

 

1.

Bibliografia :

Hacques, G. - Mathematiques pour l''''informatique III- Algorithmique Numerique- Armand Colin.

2. Vandergraft, J.S. - Introduction to Numerical Computations- Academic Press.
3. Forsythe, G.; Malcolm, M.A.; Moler, C.B.- Computer Methods for Mathematical Computations- Prentice-Hall.
4. Burden, R.; Faires, J.D.;Reynolds, A.C.- Numerical Analysis-Wadsworth International Student Edition.
5. Coimbra, E. - Splines Cúbicos- Notas de lições para alunos do segundo ano das licenciaturas da F.C.T.- Departamento de Matemática da F.C.T. da U.N.L.
6. Coimbra, E. - Integração Adaptativa- Notas de lições para alunos do segundo ano da Licenciatura em Matemática da F.C.T.- Departamento de Matemática da F.C.T. da U.N.L.
7. Fox, L.; Mayers, D.F.- Computing Methods for Scientists and Engineers- Clarendon Press.
8. Freitas, A.C. -Introdução à Análise Numérica, Volume I- U.L.M.

Método de ensino

As aulas teóricas são aulas de síntese usadas para apresentação dos conceitos e seu desenvolvimento sendo demonstrados alguns dos resultados mais importantes. Também se incluem bastantes exemplos e são apresentadas algumas questões que se resolvem em aulas teóricas seguintes ou durante as aulas práticas. É ainda acoselhada alguma bibliografia. As aulas práticas tém lugar no laboratório. Para além da resolução de questões de aplicação da matéria exposta nas aulas teóricas os alunos organizam-se em pequenos grupos e elaboram trabalhos de computação que são alvo de avaliação. Antecipadamente são postos à disposição dos estudantes enunciados de exercícios sobre os quais irão versar as aulas que se seguem. A s dúvidas são esclarecidas ou durante o decorrer das aulas ou em horário a combinar com os alunos

Método de avaliação

A nota final da disciplina será 80% da nota do Exame Final + 20% da Nota da avaliação Prática.

- Em caso de, nota de Exame Final inferior a 9.5 valores ou Nota da avaliação Prática inferior a 9.5 valores, o aluno reprova.

- Em caso de Nota Final da disciplina superior a 17 valores, o aluno terá que realizar
uma prova suplementar para defesa de nota (Caso não realize esta prova, a nota final será 17 valores).

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