Análise Matemática I E

Código

10636

Unidade Orgânica

Faculdade de Ciências e Tecnologia

Departamento

Departamento de Matemática

Créditos

6.0

Professor responsável

Ana Luísa da Graça Batista Custódio, Bento José Carrilho Miguens Louro

Horas semanais

6

Total de horas

84

Língua de ensino

Português

Objectivos

Domínio das técnicas básicas necessárias à Análise Matemática de funções reais de variável real.

Pretende-se que os alunos adquiram não só capacidades de cálculo fundamentais para a aprendizagem de alguns dos conhecimentos leccionados na Física, Química e outras disciplinas de Engenharia, mas também que desenvolvam métodos sólidos de raciocínio lógico e análise.

Sendo a primeira disciplina de Análise Matemática, consiste numa introdução a alguns dos conceitos que serão aprofundados e generalizados em disciplinas subsequentes do plano curricular.

Pré-requisitos

O aluno deve dominar os conhecimentos matemáticos ministrados até à conclusão do Ensino Secundário.

Conteúdo

1. Topologia - Indução Matemática - Sucessões

Topologia elementar da recta real. Relação de ordem na recta real.

Princípio de indução matemática.

Generalidades sobre sucessões. Noção de convergência de uma sucessão e propriedades do cálculo de limites. Subsucessões. Teorema de Bolzano-Weierstrass. 

2. Limites e Continuidade 

Generalidades sobre funções reais de variável real. Definição de limite segundo Cauchy e Heine. Propriedades de cálculo.  

Continuidade de uma função num ponto. Propriedades das funções contínuas. Teorema do valor intermédio. Teorema de Weierstrass. Continuidade e bijecções recíprocas.  

3. Diferenciabilidade

Generalidades. Teoremas fundamentais: Rolle, Lagrange e Cauchy. Cálculo prático de limites. Desenvolvimento de Taylor e aplicações.

4. Primitivação

Introdução. Primitivação por partes. Primitivação por substituição. Primitivação de funções racionais.

5. Integração de Riemann

Introdução. Teoremas fundamentais. Integração por partes e integração por substituição. Aplicações diversas. 

Integrais impróprios.

Bibliografia

Sebenta Adoptada

Ana Alves de Sá e Bento Louro, Análise Matemática I, FCT-UNL, 2012

Bibliografia Recomendada

1. Robert G. Bartle e Donald R. Sherbert, Introduction to Real Analysis, John Wiley & Sons Inc., 1999
2. Jaime Campos Ferreira, Introdução à Análise Matemática, Fundação Calouste Gulbenkian, 1982
3. Rod Haggarty, Fundamentals of Mathematical Analysis, Prentice Hall, 1993
4. Carlos Sarrico, Análise Matemática, Leituras e Exercícios, Gradiva, 1997

Método de ensino

As aulas teóricas consistem na exposição da matéria, que é ilustrada com exemplos de aplicação.

As aulas práticas consistem na resolução de exercícios de aplicação dos métodos e resultados apresentados nas aulas teóricas.

Quaisquer dúvidas são esclarecidas no decorrer das aulas, nas sessões semanais destinadas ao atendimento aos alunos ou ainda em sessões combinadas directamente entre aluno e professor.

Método de avaliação

1. Requisitos

Só poderão apresentar-se a qualquer das provas escritas e consequentemente ser avaliados na disciplina, os alunos que:

i. satisfaçam o critério de Frequência, ou dele estejam dispensados;

ii. se tenham inscrito para realizar a prova na Secretaria do Departamento de Matemática, até uma semana antes da respectiva data, entregando um caderno de exame em branco;

iii. no acto da prova sejam portadores de um documento oficial de identificação, onde conste uma fotografia (por exemplo, Cartão de Cidadão,  Bilhete de Identidade, Passaporte, algumas versões de Cartão de Estudante).

2. Frequência 

Será concedida Frequência a qualquer aluno que não falte, injustificadamente, a mais do que três das aulas práticas leccionadas, correspondentes ao turno em que se encontra inscrito.

Estão dispensados da obtenção de Frequência todos os alunos que possuam um estatuto especial que contemple a referida dispensa (trabalhador estudante ou qualquer outro reconhecido pelas regras gerais de avaliação da FCT-UNL) ou que tenham obtido frequência no ano lectivo 2011/2012.

3. Avaliação das práticas

Os docentes das aulas práticas atribuirão, no final do semestre, uma classificação de Avaliação das Práticas, AP, de 1, 2, 3 ou 4 pontos a cada um dos seus alunos com Frequência. Aos alunos dispensados da obtenção de Frequência, e a quem o docente das aulas práticas não tenha atribuído classificação AP, é atribuída, para efeitos da utilização da tabela de conversão, AP = 2. 

4. Avaliação contínua

Ao longo do semestre serão realizados três testes. Para poder realizar qualquer prova, o aluno tem de satisfazer o critério de Frequência, ou dele estar dispensado. Nas condições anteriores, seja T1 a classificação obtida no primeiro teste, T2 a obtida no segundo, T3 a obtida no terceiro e M0 a obtida em Matemática 0 (todas em valores não arredondados). Considere-se

AC = Max(0,8*(T1+T2+T3)/3+0,2*M0, (T1+T2+T3)/3),

Se AC=7.5 e T3>=7.0 a classificação final ACF será obtida por ponderação de AC, depois de arredondada às unidades, com a classificação da Avaliação das Práticas, aplicando a Tabela 1.

Para ser aprovado por Avaliação Contínua, o aluno terá que obter, pelo menos, 7.0 valores no terceiro teste e classificação final, ACF, superior ou igual a 10 valores. Se 10 ≤ ACF ≤ 16, o aluno fica aprovado com a classificação final ACF. Se ACF ≥ 17, o aluno poderá optar entre ficar com a classificação final de 16 valores ou realizar uma prova complementar para defesa de nota.

5. Época de recurso

Podem apresentar-se a exame na época de recurso todos os alunos inscritos, e ainda não aprovados na disciplina, que estejam nas condições do ponto 2.

Se o aluno obtiver a classificação CP na prova, a classificação CE resulta da fórmula

CE=Max (0,8*CP+0,2*M0, CP).

A classificação final, CF, é obtida por ponderação de CE, depois de arredondada às unidades, com a classificação da Avaliação das Práticas, por aplicação da Tabela 1.

Se 10 ≤ CF ≤ 16, o aluno fica aprovado com a classificação final CF. Se CF ≥ 17, o aluno poderá optar entre ficar com a classificação final de 16 valores ou realizar uma prova complementar para defesa de nota.

Tabela 1: Conversão de nota por avaliação das práticas

7. Melhoria de nota

Os alunos poderão realizar exame de melhoria de nota na data correspondente à época de recurso. Todo o aluno que pretenda fazê-lo deve cumprir, para esse efeito, as formalidades legais de inscrição.

A classificação final será igual à obtida no exame, devidamente arredondada às unidades. Se esta classificação for superior ou igual a 17 valores, o aluno poderá optar entre ficar com a classificação final de 16 valores ou realizar uma prova complementar para defesa de nota.

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