Análise Matricial I
Código
10821
Unidade Orgânica
Faculdade de Ciências e Tecnologia
Departamento
Departamento de Matemática
Créditos
6.0
Professor responsável
Isabel Maria da Silva Cabral Inglês Esquivel, Júlia Maria Nunes Loureiro Vaz de Carvalho
Horas semanais
1
Total de horas
56
Língua de ensino
Português
Objectivos
Pretende-se que o aluno adquira conhecimentos que não são, em geral, objecto de estudo de um curso de 1º ciclo de Álgebra Linear, com ênfase à abordagem de um ponto de vista matricial, e que têm importância não só na sua formação nesta área como também pelas suas aplicações noutras áreas (nomeadamente na Estatística, Computação, Análise Numérica e Optimização).
Pré-requisitos
Noções básicas de Álgebra Linear.
Conteúdo
0. Revisão de alguns conceitos básicos de Álgebra Linear
0.1 Matrizes
Transformações elementares sobre as linhas/colunas de uma matriz. Matrizes elementares e equivalência de matrizes. Forma de escada e forma de escada reduzida. Característica de uma matriz.
0.2 Determinantes
Definição de determinante e teorema de Laplace. Outras propriedades do determinante.
Transformações elementares e determinantes.
0.3 Espaços Vectoriais
Espaços e subespaços vectoriais. Alguns subespaços fundamentais associados a uma matriz. Independência linear. Bases e dimensão. Mais sobre a característica de uma matriz.
1. Matrizes particionadas em blocos
1.1 Algumas definições e operações com matrizes particionadas em blocos
1.2 Transformações/matrizes elementares por blocos
1.3 Característica da soma e do produto de matrizes
1.4 Teorema de Laplace generalizado e algumas consequências
1.5 Transformações elementares por blocos e determinantes
1.6 Complemento de Schur
2. Valores próprios, vectores próprios e diagonalização
2.1 Valores e vectores próprios: definição e propriedades
2.2 Algumas propriedades do polinómio característico
2.3 Teorema de Cayley-Hamilton e algumas consequências
2.4 Polinómio mínimo
2.5 Matrizes companheiras de polinómios
2.6 Semelhança e diagonalização
2.7 Diagonalização simultânea
3. Semelhança unitária e triangularização
3.1 Produto interno usual em IRn e em ICn
3.2 Processo de ortogonalização de Gram-Schmidt
3.3 Matrizes unitárias e matrizes ortogonais: definição e caracterizações
3.4 Triangularização de Schur e algumas consequências
3.5 Triangularização simultânea
4. Matrizes normais
4.1 Propriedades das matrizes normais
4.2 Propriedades das matrizes hermíticas/hemi-hermíticas e das matrizes simétricas /hemi-simétricas
4.3 Propriedades das matrizes definidas positivas e das matrizes definidas não negativas
4.4 Raiz de índice k de uma matriz definida positiva/não negativa.
Bibliografia
1. R. A. Horn, C. R. Johnson, Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1985.
2. C. D. Meyer, Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, SIAM, 2000.
3. F. Zhang, Matrix Theory - Basic Results and Techniques, Springer,1999.
Método de avaliação
Entrega de uma lista de exercícios resolvidos em 3 datas ao longo do semestre e realização de um teste escrito no final do semestre. Cada lista de exercícios resolvidos tem uma contribuição para a nota de final de 15% e o teste final de 55%.