Topologia e Homotopia
Código
10842
Unidade Orgânica
Faculdade de Ciências e Tecnologia
Departamento
Departamento de Matemática
Créditos
6.0
Professor responsável
João Nuno Gonçalves Faria Martins
Horas semanais
3
Total de horas
49
Língua de ensino
Português
Objectivos
O objectivo desta unidade curricular é dotar os alunos de conhecimentos de Topologia Geral, ilustrados com numerosos exemplos explícitos, servindo também como uma introdução à Topologia Algébrica e à Teoria da Homotopia.
Os alunos deverão entender e saber demonstrar os resultados fundamentais sobre espaços topológicos, funções contínuas, compacidade, conexidade e axiomas de separação/ numerabilidade. Na área de Topologia Algébrica, os alunos farão uma aprendizagem do conceito de grupo fundamental de um espaço topológico, e do seu cálculo em casos simples, resultando do Teorema de van Kampen ou da passagem a espaços de revestimento, bem como da aplicação do grupo fundamental aos teoremas de separação no plano. Havendo tempo, é também um objectivo da unidade curricular abordar os teoremas de classificação das superfícies compactas e dos espaços de revestimento.
Pré-requisitos
Análise em Rn. Noções gerais de Algebra Linear.
Noções gerais sobre espaços métricos.
Noções gerais de Álgebra Geral: relações de equivalência, grupos, anéis, homomorfismos e isomorfismos.
Conteúdo
1) Espaços topológicos. Vizinhanças. Fecho e interior. Espaços métricos. Funções contínuas. Homeomorfismos. Bases e sub-bases de uma topologia. Subespaços topológicos e topologia induzida. Axiomas de separação. Espaços de Hausdorff. Espaços normais. Teorema da extensão de Tietze. Axiomas de numerabilidade.
2) Topologias finais e iniciais. Produtos de espaços topológicos. Topologia quociente. Espaços obtidos por identificação. Adjunção de uma cela a um espaço topológico. Superfícies.
3) Espaços topológicos conexos. Conexidade local e componentes conexas. Espaços conexos por arcos. Compacidade de um espaço topológico. Caso dos espaços métricos. Números de Lebesgue de coberturas de espaços métricos compactos. Compacidade local.
4) Noção de homotopia. Espaços homotópicos. Homotopia entre caminhos. Grupo fundamental de um espaço topológico. Independência do ponto base. Invariância por homotopia. Espaços de revestimento. Levantamento de caminhos e de homotopias. Acção do grupo fundamental na fibra de um espaço de revestimento. O grupo fundamental da circunferência. Teorema de van Kampen. Grupos apresentados por geradores e relações.
5) Aplicações e teoremas de separação no plano: Teorema do ponto fixo de Brouwer (a duas dimensões). Teorema fundamental da álgebra. Teorema da curva de Jordan. Invariância do domínio. Bordo de uma superfície.
Possíveis tópicos extra:
Complexos simpliciais. Triangulações de superfícies. Orientação de superfícies. Classificação de superfícies compactas. Classificação de espaços de revestimento. Revestimento universal. O Polinómio de Alexander para enlaces. Triangulações de espaços topológicos. Teorema da aproximação simplicial. Homologia simplicial. Característica de Euler. Complexos CW. Teorema da aproximação celular.
Bibliografia
Todo o programa da unidade curricular aparece no livro (que existe na biblioteca da FCT / UNL):
1) James R. Munkres: Topology. Prentice Hall (2000)
Explicitamente: Capítulo 2, Capítulo 3, Capítulo 4 (secções 30, 31, parte de 32, parte de 35), Capítulo 9 (secções 51 a 56), Capítulo 10 (secções 61, 62 e 63) e Capítulo 11.
A unidade curricular será ensinada num nível de detalhe inferior ao deste livro.
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Quase todo o programa da unidade curricular aparece na referência (bastante mais leve do que a anterior, e existente na biblioteca da FCT / UNL):
2) Armstrong, Mark Anthony: Basic topology. Corrected reprint of the 1979 original. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1983.
Capítulos 2, 3, 4 e 5.
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Uma óptima referência para grande parte do programa, e exactamente ao nível que se pretende para a unidade curricular.
3) Gamelin, Theodore W.; Greene, Robert Everist: Introduction to topology. Second edition. Dover Publications, Inc., Mineola, NY, 1999.
Capítulos 2 e 3.
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Outras referências:
4) Simmons; George F: Introduction to Topology and Modern Analysis , G. Simmons, 1963, McGraw-Hill
Os capítulos 3, 4, 5 e 6 do livro são uma boa referência para os capítulos 1, 2 e 3 do programa da unidade curricular.
5) Hatcher, Allen: Algebraic topology. Cambridge University Press, Cambridge, 2002.
O capítulo 1 do livro é uma boa referência para o capítulo 4 da matéria.
Método de ensino
A unidade curricular funcionará oficialmente em regime tutorial. Haverá no entanto um turno teórico semanal de 1.5 horas. Nas duas horas semanais de turnos de "orientação tutorial" os alunos serão orientados na bibliografia da unidade curricular, e far-se-á a discussão de alguns dos exercícios propostos.
Método de avaliação
Avaliação Contínua
-Os alunos deverão entregar quinzenalmente séries de exercícios, propostas pelo docente. No final do semestre far-se-á a média ponderada das notas das séries de exercícios, que contará para a nota final da unidade curricular com o peso de 75%. Da nota de cada série de exercícios fará parte a discussão de alguns destes; esta discussão terá lugar durante os turnos tutoriais.
-Cada aluno fará uma apresentação oral de cerca de 1 hora (por exemplo com uma demonstração completa de um teorema, explicação de uma pequena secção de um livro, etc.) A nota da apresentação contará para a nota final na unidade curricular com o peso de 25 %.
Exame final
Frequência: Um aluno obtém frequência se tiver entregue todas, as séries de exercícios propostas, excepto possivelmente uma.