Variedades Diferenciais
Código
10849
Unidade Orgânica
Faculdade de Ciências e Tecnologia
Departamento
Departamento de Matemática
Créditos
6.0
Total de horas
56
Língua de ensino
Português
Objectivos
Objectivos. Ensinar aos alunos o conceito de variedade diferencial, ilustrado com numerosos exemplos, nomeadamente o das superfícies em R3 e mais geralmente das subvariedades de Rn. Dotar os alunos de conhecimentos básicos de Topologia e de Geometria Diferencial, nomeadamente da noção de espaço tangente e cotangente a uma variedade, campo vectorial, forma diferencial, derivadas de Lie, derivadas exteriores, integração em variedades, teorema de Stokes. Possíveis tópicos adicionais: cohomologia de De Rham, grau de uma aplicação entre variedades, relação entre grau e integral, conexões em variedades, curvatura e curvas geodésicas. Transversalidade. Grupos de Lie.
Conteúdo
1)Revisões de cálculo diferencial em Rn. Teorema da função implícita e teorema da função inversa. Noção de variedade embebida em Rn (subvariedade de Rn).
2) Revisão de Topologia Geral: Espaços topológicos, funções contínuas e homeomorfismos. Axiomas de separação. Espaços métricos.
3) Definição de variedades diferenciais. Cartas locais e atlas de uma variedade. Funções diferenciáveis entre variedades diferenciais. Subvariedades. Teorema de mergulho de Whitney.
4) Fundamentos de álgebra linear e multilinear. Espaço tangente e espaço cotangente a uma variedade diferencial. Campos vectoriais e campos tensoriais. Formas diferenciais. Fluxo de um campo vectorial. Parêntesis de Lie de dois campos vectoriais. Interpretação geométrica. Derivadas de Lie. Distribuições e Teorema de Frobenius (opcional). Grupos de Lie (opcional).
5) Orientação de variedades. Integração de formas diferenciais. Derivada exterior de uma forma diferencial. Variedades com bordo. Teorema de Stokes.
6) Cohomologia de De Rham. Invariância por homotopia. Grau de uma aplicação entre variedades diferenciais da mesma dimensão. Relação entre grau e integral. Índice de um campo vectorial. Característica de Euler. Aplicações.
7) Conexões em Variedades. Derivadas covariantes. Transporte paralelo. Curvas geodésicas. Torção e curvatura. Equações de estrutura. Variedades Riemaniannas. Conexão de Levi-Civita. Curvatura em variedades Riemannianas.
Os capítulos 6 e 7 podem ser dados em alternativa ou apenas em parte.
Bibliografia
1- Dennis Barden, Charles Benedict Thomas, An Introduction to Differential Manifolds, Imperial College Press, 2003
2- Milnor, John W. Topology from the differentiable viewpoint. Based on notes by David W. Weaver. Revised reprint of the 1965 original. Princeton Landmarks in Mathematics. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1997.
3- Manfredo Perdigão de Carmo, Geometria Riemanniana, IMPA (1988)
4-Dubrovin, B. A.;Fomenko, A.T.;Novikov, S.P.: Modern Geometry-Methods and Applications: Part II, the Geometry and Topology of Manifolds Graduate Texts in Mathematics, springer-verlag (1985)