Teoria das Distribuições

Código

10850

Unidade Orgânica

Faculdade de Ciências e Tecnologia

Departamento

Departamento de Matemática

Créditos

6.0

Professor responsável

Maria Luísa Martins Macedo de Faria Mascarenhas

Total de horas

56

Língua de ensino

Português

Conteúdo

1. Pequeno apontamento histórico

 

1. O problema da diferenciação de funções não regulares;
2. Laurent Schwartz e uma história de borboletas;
3. A axiomática de Sebastião e Silva;

 

2. Preliminares

 

1. Espaços de Fréchet e famílias contáveis de semi-normas;
2. Os espaços C^k e C^{\infty};
3. Limites indutivos topológicos e o espaço das funções teste.      

 

3. O espaço das distribuições

 

1. Formas lineares contínuas em espaços de Fréchet;
2. Definição e primeiras propriedades; ordem de uma distribuição e primeiros exemplos.
3. Suporte de uma distribuição; Multiplicação de uma distribuição por uma função regular.
4.  As funções localmente integráveis enquanto distribuições; Relação entre medidas e distribuições; Valor principal; o delta de Dirac enquanto distribiução.

 

 

 

4. Convergência de uma sucessão de distribuições

1. Revisões sobre a topologia fraca e fraca *;
2. Convergência de uma sucessão de distribuições; Caracterização e propriedades fundamentais;

 

 

5. Diferenciação no espaço das distribuições

 

1. Definição e primeiras propriedades;
2. Operadores diferenciais: noção de solução fundamental.

 

6. Convolução de Distribuições;

 

1. Revisões sobre o produto de convolução;
2. Convolução de uma distribuição e de uma função teste; Convolução de uma distribuição de suporte compacto e de uma função regular. Convolução de uma distribuição e de uma distribuição de suporte compacto.
3. Propriedades gerais do produto de convolução de distribuições.

 

7. O espaço das distribuições temperadas

 

1. Funções regulares de decrescência rápida e passagem ao dual: o espaço das funções temperadas.
2. Os espaços L^p enquanto distribuições temperadas.
3.  Transformada de Fourier de uma distribuição temperada e propriedades (convolução, relação com a diferenciação e multiplicação por um polinómio).
4. Símbolo de um operador diferencial

 

8. Aplicação: Espaços de Sobolev

Bibliografia

1. F. Friedlander and M. Joshi, Introduction to the Theory of distributions;
2. A. Kolmogorov and V. Fomin, Introductory real analysis;
3. W. Rudin, Functional Analysis;
4. R. Strichartz, A Guide to Distribution Theory and Fourier Transforms.

Cursos

• Análise Numérica e Equações Diferenciais
• Álgebra, Lógica e Computação