Análise Matemática I A
Código
10969
Unidade Orgânica
Faculdade de Ciências e Tecnologia
Departamento
Departamento de Matemática
Créditos
9.0
Professor responsável
Oleksiy Karlovych
Horas semanais
6
Total de horas
84
Língua de ensino
Português
Objectivos
Pretende-se que os alunos fiquem a conhecer rigorosamente:
1. A noção de limite de sucessões e de funções e os principais resultados associados.
2. As principais noções, resultados e aplicações do cálculo diferencial de uma variável, incluindo o estudo analítico de funções reais de uma variável real.
Pré-requisitos
O aluno deve ter os conhecimentos matemáticos correspondentes à conclusão do Ensino secundário.
Conteúdo
1. Números reais
1.1. Breve apresentação dos números: naturais, inteiros, racionais e reais.
1.2. Propriedades fundamentais dos números reais (noção de axiomática). Densidade dos racionais no conjunto dos reais.
1.3. Noções topológicas no conjunto dos números reais: vizinhança, interior, exterior, fronteira, conjunto aberto, conjunto fechado, fecho, ponto de acumulação e ponto isolado.
1.4. Princípio de indução matemática.
2. Sucessões de números reais
2.1. Definição de sucessão. Sucessões limitadas. Operações com sucessões. Sucessões crescentes, decrescentes e monótonas. Subsucessões. Existência de subsucessões monótonas para todas as sucessões de números reais.
2.2. Noção de limite em IR. Infinitamente grande. A recta acabada. Propriedades fundamentais dos limites.
2.3. Sublimites. Existência de sublimites das sucessões limitadas. Limite superior e limite inferior e suas propriedades.
2.4. Sucessão de Cauchy. IR como espaço completo.
3. Funções reais de variável real - limites e continuidade
3.1. Domínio, contradomínio, gráfico, monotonia, extremos. Função par, ímpar, limitada. Zeros. Restrição e prolongamento. Função injectiva, sobrejectiva e bijectiva.
3.2. Limite de uma função num ponto. Limite no infinito. Limites infinitos. Unificação dos conceitos de limite usando a recta acabada. Teorema de Heine. Limite e operações elementares.
3.3. Limite da função composta. Limites relativos: limite por valores diferentes e limites laterais. Existência de limites laterais das funções monótonas limitadas.
3.4. Função contínua num ponto. Função contínua à esquerda e à direita. Função contínua num conjunto. Teorema de Bolzano. Teorema de Weierstrass. Prolongamento por continuidade. Potenciação real.
3.5. Continuidade uniforme. Função lipschitziana. Continuidade uniforme e sucessões. Teorema de Cantor.
4. Funções reais de variável real - diferenciabilidade.
4.1. Derivada e sua interpretação física. Função diferenciável e interpretação geométrica da derivada. Relações entre diferenciabilidade e continuidade. Derivada e operações algébricas. Derivadas laterais.
4.2. Derivada da função composta. Derivada da função inversa. Funções trigonométricas inversas e respectivas derivadas.
4.3. Função derivada. Função de classe Cn e infinitamente diferenciáveis.
4.4. Extremo local (máximo e mínimo). Condição necessária sobre as derivadas laterais para a existência de extremo local.
4.5. Teoremas de Rolle, Darboux, Lagrange e do valor médio de Cauchy. Regra de Cauchy. Fórmula de Taylor. Levantamento de indeterminações.
4.6. Aplicação da fórmula de Taylor à determinação de extremos, do sentido da concavidade e de pontos inflexão. Assímptotas. Estudo de funções.
Bibliografia
1. Alves de Sá, A.; Louro, B. - Sucessões e Séries - Teoria e Prática, Livraria Escolar Editora, 2008.
2. Apostol, T. - Calculus, Blaisdell, 1967.
3. Campos Ferreira, J. - Introdução à Análise Matemática, Fundação Calouste Gulbenkian, 1982.
4. Elon Lages Lima - Curso de Análise - Projeto Euclides, Rio de Janeiro, 1989.
5. Figueira, M. - Fundamentos de Análise Infinitesimal, Textos de Matemática, vol. 5, Departamento de Matemática, Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa, 1996.
6. Sarrico, C. - Análise Matemática, Leituras e Exercícios, Gradiva, 1997.
Método de ensino
As aulas, todas teórico-práticas, consistem na exposição da teoria, ilustrada com exemplos e aplicações, e na resolução de exercícios.
A quase totalidade dos resultados é apresentada com a respectiva demonstração. Omitem-se demonstrações de carácter mais técnico que, em nossa opinião não contribuem significativamente para a formação do aluno.
Está à disposição dos alunos bibliografia adaptada, assim como folhas de exercícios propostos. Alguns destes exercícios são resolvidos na aula. A resolução dos restantes faz parte do trabalho pessoal do aluno. Quaisquer dúvidas são esclarecidas no decorrer das aulas ou nas sessões destinadas a atendimento de alunos.
Método de avaliação
Regras de Avaliação
1. Frequência
a) Para obter frequência à disciplina, em 2012/2013, é necessário que o aluno tenha assistido a, pelo menos, 80% das aulas dadas.
b) Estão dispensados da obtenção de frequência, no ano lectivo 2012/2013, os alunos que
i. tenham um estatuto especial (trabalhador estudante, militar, etc.),
ii. tenham obtido frequência à disciplina no ano lectivo 2011/2012.
2. Requisitos
a) Só poderão efectuar qualquer das provas os alunos que tenham entregue um caderno (em branco) na Secretaria do Departamento de Matemática até uma semana antes da data da prova e que no acto da prova sejam portadores do Bilhete de Identidade (ou cartão de cidadão) e do Cartão de Estudante.
b) Para obter classificação na disciplina é necessário que o aluno tenha obtido frequência ou dela esteja dispensado. Os alunos que não satisfaçam uma destas duas condições estarão reprovados.
3. Testes
Realizam-se quatro testes durante o semestre.
a) Podem apresentar-se ao primeiro e ao segundo teste todos os alunos inscritos na disciplina que estejam em condições de obter frequência ou dela estejam dispensados.
b) Podem apresentar-se ao terceiro e ao quarto teste os alunos que tenham obtido classificação não inferior a 7,5 no segundo teste e que estejam em condições de obter frequência ou dela estejam dispensados.
c) Para obter a classificação dos testes (CT), é necessário que o aluno tenha obtido classificação não inferior a 7,5 no segundo e no quarto teste.
d) Designando o primeiro, o segundo, o terceiro e o quarto teste por T1, T2, T3 e T4, respectivamente, CT obtém-se segundo a fórmula
CT = 0,15 x T1 + 0,35 x T2 + 0,15 x T3 + 0,35 x T4.
Designando a nota de Matemática 0 por M0, a classificação final por testes (CFT) é calculada pela fórmula
CFT=max( 0,2 x M0 + 0,8 x CT , CT ).
Se CFT for inferior, ou igual, a 9,4 o aluno pode apresentar-se a exame. Se CFT for superior, ou igual, a 9,5 e inferior, ou igual, a 16,4, o aluno fica aprovado com essa classificação, arredondada às unidades. Se CFT for superior, ou igual, a 16,5 o aluno poderá optar entre ficar com a classificação final de 16 e realizar uma prova complementar para defesa de nota.
4. Exame
a) Todo o aluno ainda não aprovado na disciplina e que tenha obtido frequência em 2012/2013 ou dela esteja dispensado pode apresentar-se a exame.
b) Designando a classificação obtida no exame por CE e a classificação final por CFE, CFE obtém-se segundo a fórmula
CFE=max( 0,2 x M0 + 0,8 x CE , CE ).
Se CFE for inferior, ou igual, a 9,4 o aluno reprova. Se a CFE for superior, ou igual, a 9,5 e inferior, ou igual, a 16,4, o aluno fica aprovado com essa classificação, arredondada às unidades. Se CFE for superior, ou igual, a 16,5 o aluno poderá optar entre ficar com a classificação final de 16 ou realizar uma prova complementar para defesa de nota.
5. Melhoria de nota
a) Todo o aluno que pretenda obter melhoria de nota deve cumprir, para esse efeito, as formalidades legais de inscrição.
b) Para obter melhoria de nota, é necessário que o aluno se apresente a exame.
c) A classificação final será igual à CE, devidamente arredondada às unidades. Se CE for superior, ou igual, a 16,5 o aluno poderá optar entre ficar com a classificação final de 16 ou realizar uma prova complementar para defesa de nota. Se a classificação final for superior à já obtida anteriormente na disciplina, será tomada como nota final. Caso contrário, não se verifica melhoria de nota.