Álgebra Linear I
Código
10970
Unidade Orgânica
Faculdade de Ciências e Tecnologia
Departamento
Departamento de Matemática
Créditos
6.0
Professor responsável
Júlia Maria Nunes Loureiro Vaz de Carvalho
Horas semanais
6
Total de horas
84
Língua de ensino
Português
Objectivos
Pretende-se que o aluno adquira conhecimentos básicos de Álgebra Linear (vide programa da disciplina) e que o processo de aprendizagem favoreça o desenvolvimento do raciocínio lógico e do espírito crítico do aluno.
Pré-requisitos
Conhecimentos de Matemática correspondentes ao ensino pré-universitário português (12º ano -área de ciências).
Conteúdo
Álgebra Linear I - 2012/2013
Programa
Breves revisões sobre conjuntos.
1. Matrizes
Definição de matriz do tipo pxn sobre o corpo dos reais ou sobre o corpo dos complexos. Tipos especiais de matrizes. Operações com matrizes – produto de um escalar por uma matriz, soma e produto de matrizes. Transposta de uma matriz. Matriz simétrica e matriz anti-simétrica. Potência de expoente n de uma matriz quadrada. Matriz em forma de escada e matriz em forma de escada reduzida. Transformação elementar nas linhas ou colunas de uma matriz. Característica de uma matriz. Matriz elementar. Matriz invertível. Inversa de uma matriz invertível. Algoritmo para a inversão de uma matriz invertível.
2. Sistemas de equações lineares.
Sistema possível e sistema impossível. Sistema possível determinado e sistema possível indeterminado. Matriz simples, matriz dos termos independentes e matriz ampliada de um sistema. Representação matricial de um sistema. Discussão de um sistema e resolução de um sistema possível (usando matrizes). Sistema homogéneo. Sistema homogéneo associado a um dado sistema.
3. Espaços vectoriais
Espaço vectorial sobre o corpo dos reais ou sobre o corpo dos complexos. Subespaço vectorial. Intersecção e soma de subespaços vectoriais. Sistema (finito) de vectores. Combinação linear de um sistema de vectores. Subespaço gerado por um sistema de vectores. Espaço vectorial finitamente gerado. Sistema de vectores linearmente independente e sistema de vectores linearmente dependente. Base de um espaço vectorial finitamente gerado. Coordenadas de um vector em relação a uma base. Teorema de Steinitz e suas consequências fundamentais. Dimensão de um espaço vectorial finitamente gerado. Relação entre as dimensões da intersecção e da soma de dois subespaços vectoriais. Espaço-linha e espaço-coluna de uma matriz. Relação entre as dimensões dos espaços linha e coluna de uma matriz e a característica da matriz.
4. Aplicações lineares
Definição de aplicação linear. Monomorfismo, epimorfismo, isomorfismo, endomorfismo, automorfismo. Núcleo e subespaço imagem de uma aplicação linear. Relação entre as dimensões do núcleo e do subespaço imagem de uma aplicação linear cujo espaço de partida é finitamente gerado. Teorema da Extensão Linear. Caracterização de espaços vectoriais finitamente gerados isomorfos através da dimensão. Matriz de uma aplicação linear (entre espaços de dimensão finita positiva) em relação a certas bases e algumas aplicações desta noção. Matriz da composição de aplicações lineares. Relação entre a bijectividade de uma aplicação linear entre espaços com a mesma dimensão n e a invertibilidade de qualquer das suas matrizes. Matriz de mudança de base. Relação entre matrizes da mesma aplicação linear. Cálculo da dimensão do subespaço imagem de uma aplicação linear através da característica de uma sua matriz. Cálculo da dimensão do subespaço das soluções de um dado sistema homogéneo através do número de incógnitas e da característica da sua matriz simples.
5. Determinantes
Definição de determinante de uma matriz quadrada (definição dada por recorrência na ordem da matriz e desenvolvendo segundo a sua primeira linha). Complemento algébrico de um elemento de uma matriz quadrada. Adjunta de uma dada matriz. Propriedades dos determinantes. Caracterização das matrizes invertíveis através do determinante. Cálculo da inversa de uma matriz invertível usando determinantes.
Bibliografia
1. J. Vaz de Carvalho, Apontamentos de “Álgebra Linear I” 2011/2012, Departamento de Matemática da FCT/UNL.
2. H. Anton, C. Rorres, Elementary Linear Algebra, Applications Version, 8th Edition, John Wiley & Sons, 2000.
3. T. S. Blyth, E. F. Robertson, Basic Linear Algebra, 2nd Edition, Springer Undergraduate Mathematics Series, 2002.
4. E. Giraldes, V. H. Fernandes, M. P. Marques-Smith, Álgebra Linear e Geometria Analítica, McGraw-Hill de Portugal, 1995.
5. S. J. Leon, Linear Algebra with Applications, 7th Edition, Prentice Hall, 2006.
6. A. Monteiro, Álgebra Linear e Geometria Analítica, McGraw-Hill de Portugal, 2001.
7. A. P. Santana, J. F. Queiró, Introdução à Álgebra Linear, Gradiva, 2010.
Método de ensino
As aulas são teórico-práticas e consistem em exposição da teoria, que é ilustrada com exemplos de aplicação, e em resolução de exercícios.
A quase totalidade dos resultados é apresentada com a respectiva demonstração. Omitem-se demonstrações de carácter mais técnico que, em nossa opinião, não contribuem significativamente para a formação do aluno.
Antes de se expor a teoria de cada capítulo, o aluno tem à sua disposição as respectivas folhas de exercícios. Alguns destes exercícios serão resolvidos em aula. A resolução dos restantes faz parte do trabalho pessoal do aluno. Quaisquer dúvidas serão esclarecidas no decorrer das aulas ou nas sessões destinadas a atendimento de alunos ou ainda em sessões combinadas directamente entre aluno e professor.
Método de avaliação
ÁLGEBRA LINEAR I - 2012/2013
Regras de Avaliação
1. Frequência
a) Para obter frequência à disciplina, em 2012/2013, é necessário que o aluno tenha assistido a, pelo menos, 80% das aulas dadas.
b) Estão dispensados da obtenção de frequência, no ano lectivo 2012/2013, os alunos que
i. tenham um estatuto especial (trabalhador estudante, militar, etc.),
ii. tenham obtido frequência à disciplina no ano lectivo 2011/2012.
2. Requisitos
a) Só poderão efectuar qualquer das provas os alunos que tenham entregue um caderno (em branco) na Secretaria do Departamento de Matemática até uma semana antes da data da prova e que no acto da prova sejam portadores do Bilhete de Identidade (ou cartão de cidadão) e do Cartão de Estudante.
b) Para obter classificação na disciplina é necessário que o aluno tenha obtido frequência ou dela esteja dispensado. Os alunos que não satisfaçam uma destas duas condições estarão reprovados.
3. Testes
Realizam-se quatro testes durante o semestre.
a) Podem apresentar-se ao primeiro e ao segundo teste todos os alunos inscritos na disciplina que estejam em condições de obter frequência ou dela estejam dispensados.
b) Podem apresentar-se ao terceiro e ao quarto teste os alunos que tenham obtido classificação não inferior a 7,5 no segundo teste e que estejam em condições de obter frequência ou dela estejam dispensados.
c) Para obter a classificação dos testes (CT), é necessário que o aluno tenha obtido classificação não inferior a 7,5 no segundo e no quarto teste.
d) Designando o primeiro, o segundo, o terceiro e o quarto teste por T1, T2, T3 e T4, respectivamente, CT obtém-se segundo a fórmula
CT = 0,15 x T1 + 0,35 x T2 + 0,15 x T3 + 0,35 x T4
Se CT for inferior, ou igual, a 9,4 o aluno pode apresentar-se a exame. Se CT for superior, ou igual, a 9,5 e inferior, ou igual, a 16,4, o aluno fica aprovado com essa classificação, arredondada às unidades. Se CT for superior, ou igual, a 16,5 o aluno poderá optar entre ficar com a classificação final de 16 ou realizar uma prova complementar para defesa de nota.
4. Exame
a) Todo o aluno ainda não aprovado na disciplina e que tenha obtido frequência em 2012/2013 ou dela esteja dispensado pode apresentar-se a exame.
b) Se a classificação obtida na prova entregue for inferior, ou igual, a 9,4 o aluno reprova. Se a classificação obtida na prova entregue for superior, ou igual, a 9,5 e inferior, ou igual, a 16,4, o aluno fica aprovado com essa classificação, arredondada às unidades. Se a classificação obtida na prova entregue for superior, ou igual, a 16,5 o aluno poderá optar entre ficar com a classificação final de 16 ou realizar uma prova complementar para defesa de nota.
5. Melhoria de nota
a) Todo o aluno que pretenda obter melhoria de nota deve cumprir, para esse efeito, as formalidades legais de inscrição.
b) Para obter melhoria de nota, é necessário que o aluno se apresente a exame.
c) A classificação é obtida de acordo com b) do ponto 4.. Se este resultado for superior ao já obtido anteriormente na disciplina, será tomado como nota final. Caso contrário, não se verifica melhoria de nota.