Topologia e Introdução à Análise Funcional
Código
10984
Unidade Orgânica
Faculdade de Ciências e Tecnologia
Departamento
Departamento de Matemática
Créditos
6.0
Professor responsável
Elvira Júlia Conceição Matias Coimbra
Horas semanais
6
Total de horas
84
Língua de ensino
Português
Objectivos
Nesta disciplina pretende-se que os alunos se familiarizem com os conceitos básicos, princípios e métodos em Topologia e Análise Funciona. Embora seja dada uma ênfase especial aos espaços lineares normados e de dimensão arbitrária são desenvolvidas ideias e estabelecidos alguns resultados fundamentais em espaços lineares topológicos. São estabelecidas as báses da teoria mais avançada dos espaços normados, espaços de Banach e espaços de Hilbert. Sem a utilização da referida teoria, o uso destes espaços e suas aplicações seria bastante limitada.
Pré-requisitos
Pressupõe que os alunos dominem os assuntos leccionados nasdisciplinas de Álgebra Linear e Análise Matemática.
Conteúdo
ROGRAMA:
1. Espaços métricos. Sucessões. Sucessões de Cauchy e Sucessões convergentes. Espaços métricos completos.
2. Espaços Topológicos. Subespaços. Topologia relativa. Separabilidade. Espaços de Hausdorff.
3. Continuidade. Funções contínuas. Homeomorfismos. Compacidade. Conjuntos compactos.
4. Espaços lineares normados. Espaços lineares normados de dimensão finita. Compacidade e dimensão finita. Operadores lineares limitados e operadores lineares contínuos. Espaços de Banach.
5. Espaços lineares com producto interno. Espaços de Hilbert. Conjuntos ortonormados e sucessões. Sucessões e conjuntos ortonormados maximais. Séries relacionadas com sucessões e conjuntos ortonormados. Complementos ortogonais e somas directas. Representações de funcionais em espaços de Hilbert (teorema de Riesz).
Bibliografia
1. J. Dieudonné – Foundations of Modern Analysis – Academic Press
2. Elloon Lages lima – Espaços métricos – Projecto Euclides
3. Kreysig, E. – Introductory Functional Analysis with Applications – John Wiley and Sons.
4. Taylor, A. E. – Introduction to Functional Analysis – Wiley.
5. Yosida– Functional Analysis – Springer.
Método de ensino
As aulas teóricas são aulas de síntese usadas para apresentação dos conceitos e seu desenvolvimento sendo demonstrados todos os resultados considerados essenciais. Também se incluem bastantes exemplos e são apresentadas algumas questões que se resolvem em aulas teóricas seguintes ou durante as aulas práticas. É ainda acoselhada alguma bibliografia. Nas aulas práticas pretende-se que os alunos resolvam questões de aplicação da matéria exposta na aula teórica. Antecipadamente são postos à disposição dos estudantes enunciados de exercícios sobre os quais irão versar as aulas que se seguem. A s dúvidas são esclarecidas ou durante o decorrer das aulas ou em horário a combinar com os alunos.