Introdução à Topologia Algébrica
Código
11020
Unidade Orgânica
Faculdade de Ciências e Tecnologia
Departamento
Departamento de Matemática
Créditos
6.0
Professor responsável
Maria Helena Coutinho Gomes Almeida Santos
Total de horas
56
Língua de ensino
Português
Objectivos
Dotar os alunos de conhecimentos de Topologia Algébrica ao nível de mestrado, complementando a unidade curricular de “Topologia e Homotopia”. O objectivo principal da unidade curricular é que os alunos entendam a construção e propriedades básicas de alguns functores da categoria dos espaços topológicos para outras categorias definidas algebricamente, ilustrados com diversos exemplos, com o fim de resolver problemas de Topologia por meio de uma linguagem algébrica. Os alunos deverão saber calcular grupos de homologia, cohomologia e homotopia em casos específicos, directamente, resultando de sequências exactas, ou passando a espaços de revestimento.
Conteúdo
1) Categorias, functores e transformações naturais.
2) Homotopia. Equivalência de homotopia. Grupo e grupóide fundamental de um espaço topológico. Complexos CW. Propriedade da extensão da homotopia. Complexos simpliciais. Teorema da Aproximação Simplicial. Teorema da Aproximação Celular. Revisão da classificação de espaços de revestimento. Revisão da classificação de superfícies.
3) Homologia. Sequências exactas. Complexos em cadeia. Homologia de complexos em cadeia. Homologia singular. Homologia simplicial. Invariância por homotopia. Homologia relativa. Sequências exactas curtas de complexos em cadeia. Sequência exacta curta de um par. Excisão. Equivalência entre homologia simplicial e singular. Teorema de Hurewicz. Sequência de Mayer-Vietoris.
4) Aplicações e métodos de cálculo: Grau de uma aplicação entre esferas da mesma dimensão. Teorema da Bola Penteada. Teorema do ponto fixo de Brouwer. Teorema de Jordan. Invariância do domínio. Homologia celular. Característica de Euler. Números de Lefchetz.
5) (Opcional) Cohomologia. Cohomologia de complexos em cadeia. Coeficientes universais para cohomologia. Cohomologia de espaços. Invariância por homotopia. Produtos em cohomologia. Variedades. Dualidade de Poincaré.
6) (Opcional) Grupos de homotopia. Definição e propriedades básicas. Acção do grupo fundamental. Grupos de homotopia relativa. Fibrações. Sequências exactas longas de homotopia de um par, de um triplo e de uma fibração. Equivalência fraca de homotopia. Teorema de Whitehead. Módulos cruzados e complexos cruzados.
Bibliografia
Hatcher, Allen: Algebraic topology. (English summary) Cambridge University Press, Cambridge, 2002.
Teresa Monteiro Fernandes. Topologia algébrica e Teoria Elementar dos Feixes. Textos em Matemática, Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa
May, J. P.: A concise course in algebraic topology. Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press, Chicago, IL, 1999.
Rotman, Joseph J.: An introduction to algebraic topology. Graduate Texts in Mathematics, 119. Springer-Verlag, New York, 1988.
Munkres, James R. Elements of algebraic topology. Addison-Wesley Publishing Company, Menlo Park, CA, 1984.