Análise Matemática IV B
Código
5006
Unidade Orgânica
Faculdade de Ciências e Tecnologia
Departamento
Departamento de Matemática
Créditos
6.0
Professor responsável
Fábio Augusto da Costa Carvalho Chalub
Horas semanais
5
Total de horas
70
Língua de ensino
Português
Objectivos
No capítulo sobre equações diferenciais ordinárias pretende-se que o aluno se familiarize com as técnicas de resolução de equações diferenciais de primeira ordem lineares e não lineares e é dedicada especial atenção às equações diferenciais lineares de ordem superior à primeira.
No capítulo dedicado às Transformadas de Laplace pretende-se que os alunos utilizem os conhecimentos adquiridos neste assunto de forma a poder aplicá-los na resolução de alguns tipos de equações diferenciais e integrais.
Pretende-se que o aluno se familiarize com as técnicas de resolução de alguns tipos de equações às derivadas parciais.
Conteúdo
1. Equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. Diferenciais exatas.
Fator integrante. Equações de variáveis separáveis. Equações homogéneas. Equações lineares de primeira ordem. Métodos qualitativos.
2. Equações diferenciais de segunda ordem. Equações lineares e a equação de Euler. A segunda lei de Newton. Os osciladores harmónico livre, amortecido e forçado. O método da variação das constantes.
3. Soluções por desenvolvimento em série. Funções de Bessel, de Lagrange e de Hermite.
4. Equaçõoes diferenciais lineares de ordem maior do que dois.
5. Sistemas de equações diferenciais lineares de coeficientes constantes. Equações diferenciais em coordenadas polares: movimento sob forças centrais. Estabilidade
das soluções. Linearização de sistemas não-lineares próximo aos pontos de equilíbrio.
6. Equações com derivadas parciais. As equações do calor, de onda e de Laplace. O Laplaciano em coordenadas esféricas.
7. Séries e transformadas de Fourier e suas aplicações a solução de equações diferenciais.
8. Transformadas de Laplace e o seu uso na solução das equações diferenciais.
O Delta de Dirac.
9. Introdução aos problemas inversos. A Transformada de Radon.
10. Introdução ao cálculo variacional. A lei de Snell-Descartes. A catenária. O princípio da mínima ação; as equações de Euler-Lagrange e o Lagrangeano. O problema da braquistócrona.
Bibliografia
Textos básicos.
Material na internet: Vilatte, Jaime, Equações diferenciais e equações de diferenças, FEUP http://villate.org/doc/eqdiferenciais/eqdif_20110426.pdf
Apostol, T.M., Calculus, Volume I and Volume II, Blaidsell Publishing Company.
Howard, Anton, Calculus: A New Horizon, John Wiley and Sons.
Taylor, A.E., Man, W.R., Advanced Calculus, John Wiley and Sons.
Stewart, J. Cálculo, Thomson Learning.
Ferreira, M. A. e Amaral, I, Matemática, Integrais míltiplos, equações diferenciais, Edições Síabo
Algumas referências extra:
Pontos 7, 8 e 10. Butkov, E. Mathematical Physics.
Ponto 9. The Mathematics of Medical Imaging: A Beginner''s Guide, Timothy G. Feeman, Springer
Método de ensino
Aulas teóricas (3 horas por semana) e aulas práticas (2 horas por semana). Exercícios para casa e exercícios a ser resolvidos em aulas práticas.
Método de avaliação
A componente contínua da avaliação consiste de três testes. Caso a classificação do terceiro teste seja igual ou superior a 7.0 (sete) então a média final é obtida pela soma das classificações dos três testes dividido por três, arrendodada para o inteiro mais próximo (n.5 é arrendodado para n+1).
Para quem não for aprovado na avaliação contínua, é possível fazer um exame de recurso.