Análise Complexa
Código
7813
Unidade Orgânica
Faculdade de Ciências e Tecnologia
Departamento
Departamento de Matemática
Créditos
6.0
Professor responsável
Bento José Carrilho Miguens Louro, Maria Fernanda Alves da Veiga de Oliveira
Horas semanais
5
Total de horas
70
Língua de ensino
Português
Objectivos
Estudo dos aspectos básicos da teoria das funções de variável complexa, tendo como objectivo principal o estabelecimento da equivalência entre as quatro caracterizações do conceito de função analítica, e como outros objectivos adquirir algumas noções sobre propriedades geométricas de tipo global das funções analíticas e propriedades das singularidades isoladas das mesmas.
Pré-requisitos
Bons conhecimentos de análise real (uma e mais variáveis), de geometria analítica no plano e da topologia usual de R2.
Conteúdo
1. Funções de variável complexa: Aritmética dos números complexos (revisão). Definição das funções elementares. Limites e continuidade. Diferenciabilidade – funções analíticas. Diferenciação das funções elementares. Funções harmónicas. Aplicações conformes.
2. Integração de funções de variável complexa – teorema de Cauchy: Integração de funções de variável complexa. Teorema de Cauchy. Fórmula integral de Cauchy. Teoremas fundamentais: teorema de Morera, desigualdades de Cauchy, teorema de Liouville, teorema fundamental da Álgebra, teorema do máximo do módulo.
3. Séries de potências; séries de Laurent: Convergência pontual e uniforme de sucessões e séries de funções. Séries de potências. Teorema de Taylor; analiticidade. Singularidades – séries de Laurent. Singularidades isoladas; classificação de singularidades isoladas.
4. Resíduos: Métodos de cálculo de resíduos. Teorema dos resíduos. Aplicação ao cálculo de integrais (reais e complexos).
Bibliografia
L. V. Ahlfors, Complex Analysis, McGraw-Hill (1979)
M. A. Carreira e M. S. Nápoles, Variável complexa - teoria elementar e exercícios resolvidos, McGraw-Hill (1998)
S. Lang, Complex Analysis, Springer (1999), ISBN 0-387-98592-1
J. E. Marsden and M. J. Hoffman, Basic Complex Analysis - Third Edition, Freeman (1999), ISBN 0-7167-2877-X
Método de ensino
Nas aulas, a teoria é exposta e são apresentados exemplos de aplicação e ilustração. Os resultados apresentados são demonstrados. É dada oportunidade aos alunos de trabalhar na resolução de problemas constantes de uma lista previamente disponibilizada, com o apoio do professor caso o necessitem. Os resultados relevantes ilustrados pelos exercícios são objecto de comentário do professor.
Método de avaliação
A avaliação é feita segundo o Regulamento de Avaliação em vigor na Faculdade: avaliação contínua teórico-prática feita por quatro elementos durante o período de aulas, e supletivamente exame de recurso a realizar após o período de aulas.