Equações Diferenciais
Código
7814
Unidade Orgânica
Faculdade de Ciências e Tecnologia
Departamento
Departamento de Matemática
Créditos
6.0
Professor responsável
Maria Luísa Martins Macedo de Faria Mascarenhas
Horas semanais
5
Total de horas
75
Língua de ensino
Português
Objectivos
Pretende-se que o aluno aprenda as ideias básicas sobre Equações Diferencias Ordinárias, Equações com Derivadas Parciais: métodos e aplicações.
Pré-requisitos
Conhecimentos de Análise e Álgebra, adquiridos nas disciplinas de Análise Matemática IA, IIA e III A, Álgebra Linear I e II
Conteúdo
1. Equações diferenciais ordinárias (EDO)
1.1. Revisão dos métodos. Exemplos e aplicações.
1.2. Transformada de Laplace e aplicações.
1.3. Teoria qualitativa das equações diferenciais:
Isóclinas. Curvas integrais. Pontos de equilíbrio. Estabilidade. Órbitas. Planos de fase.
2. Equações com derivadas parciais (EDP)
Método das carecterísticas.
2.1. Primeiros exemplos de EDP.
Condições iniciais e de fronteira. Problemas bem postos.
2.2. Equações lineares de primeira ordem.
2.3. Equações quase-lineares de primeira ordem.
2.4. Equações de segunda ordem. Classificação.
2.5. Redução das equações de segunda ordem à forma canónica.
3. Equações com derivadas parciais (EDP)
Método de Fourier.
3.1. Separação de variáveis e princípio da sobreposição.
3.2. Séries de Fourier.
3.3. Teoria de Sturm-Liouville
3.4. Equação de propagação das ondas.
3.5. Equação de propagação do calor.
3.6. Equação de Poisson.
3.7. Existência e unicidade de solução. Princípio do máximo.
Bibliografia
Notas das Aulas.
1. A. Bivar Weinholtz, Equações Diferenciais – uma introdução, Textos de Matemática, Vol. 7, Departamento de Matemática da FCUL, 2000.
2. M. Braun. Differential Equations and their applications (4th edition). Springer-Verlag, 1993.
3. D. Guedes de Figueiredo. Análise de Fourier e equações diferenciais parciais. Projecto Euclides, IMPA, 1977.
4. C. Póvoas, Métodos Matemáticos da Física-Uma Introdução, Textos de Matemática, Vol. 17, Departamento de Matemática da FCUL, 2002.
5. M. Ramos, Curso Elementar de Equações Diferenciais, Textos de Matemática, Vol. 14, Departamento de Matemática da FCUL, 2000.
6. S. Ross. Differential Equations (3rd edition). John Wiley & Sons, 1984.
Método de ensino
As aulas são teórico-práticas. Além da exposição da matéria, que é ilustrada com exemplos de aplicação, são propostos, para resolução pelos alunos, exercícios de aplicação dos métodos e resultados apresentados.
Quaisquer dúvidas são esclarecidas no decorrer das aulas ou nas sessões destinadas a atendimento de alunos ou ainda em sessões combinadas directamente entre aluno e professor.
Método de avaliação
1. Para obter frequência à disciplina no ano 2012/2013 é necessário que o aluno tenha assistido a, pelo menos, 80% das aulas dadas.
Estão dispensados da obtenção de frequência no ano lectivo 2011/2012, os alunos que:
a) tenham um estatuto especial (trabalhador estudante, militar, etc.);
b) tenham obtido frequência à disciplina no ano lectivo 2011/2012.
2. A avaliação é feita através de quatro testes: dois testes, o primeiro e o terceiro, cada um com a duração de 45 minutos e valendo 15% da classificação total; outros dois testes, o segundo e o quarto, cada um com a duração de 1h 30m e valendo 35% da classificação total. Cada teste será classificado de 0 a 20, com aproximação às décimas. Para serem aprovados, os alunos deverão:
a) Obter a frequência descrita em 1, ou estar dela dispensados;
b) Obter no segundo teste e no quarto teste a nota mínima de 7.5;
c) Obter classificação final superior a 10 valores, no máximo de 20. A classificação final CF é obtida arredondando às unidades o valor
V= (C1+C3)*0.15+(C2+C4)*0.35,
onde C1, C2, C3, C4 representam as classificações dos testes.
Exemplo: se V=7.4 então CF=7; se V=7.5 então CF=8.
3. Haverá uma época de recurso e, quando se aplicar, uma época especial. Para terem acesso à época de recurso ou à época especial os estudantes devem ter a frequência descrita em 1, ou estar dela dispensados. A classificação final será um valor inteiro de 0 a 20. O aluno será aprovado se obtiver uma classificação superior ou igual a 10.