Medida, Integração e Probabilidades
Código
7816
Unidade Orgânica
Faculdade de Ciências e Tecnologia
Departamento
Departamento de Matemática
Créditos
6.0
Professor responsável
Manuel Leote Tavares Inglês Esquível
Horas semanais
5
Total de horas
68
Língua de ensino
Português
Objectivos
Objectivos e competências
-Gerais:
Compreensão dos fundamentos e principais ideias relativas à teoria da medida e da integração à Lebesgue e da sua aplicação à fundamentação rigorosa das probabilidades segundo Kolmogorov.
-Principais objectivos relativos ao conhecimento:
A representação binária de um número real e suas consequências no modelo de Borel das probabilidades. A definição de função mensurável e do integral de Lebesgue destas funções bem como as propriedades mais importantes destas noções. A noção de álgebra -sigma de Borel. A noção de medida de Lebesgue sobre um espaço Euclideano usual. Os teoremas de convergência. A noção de esperança matemática e suas propriedades. A definição e as propriedades essenciais dos espaços de funções integráveis. A noção de independência e suas consequências. O significado de uma lei dos grandes números e de um teorema do limite central.
Principais competências:
-Genéricas:
Compreensão do contexto em que é necessário optar por uma ou outra teoria; por exemplo, em que condições se pode optar pelo integral de Riemann e em que condições é imperativo usar o integral de Lebesgue. Relacionar as matérias leccionadas com as questões mais importantes que se nos podem colocar sobre elas num determinado nível de desenvolvimento dos estudos de um assunto.
-Específicas:
Determinar se uma dada família de subconjuntos de um conjunto dado é ou não é uma sigma álgebra sobre esse conjunto. Determinar se uma dada função é ou não é mensurável ou integrável. Calcular integrais de Lebesgue de funções características de um conjunto e de funções tomando um número finito de valores relativamente a uma medida qualquer. Calcular integrais de Lebesgue relativamente à medida de contagem e relativamente à medida de Lebesgue num espaço Euclideano usual. Utilizar as principais propriedades relativas à independência. Aplicar o teorema de convergência mais adequado à situação em análise. Identificar exemplos de intervenção de uma lei dos grandes números ou de um teorema de limite central.
Pré-requisitos
Noções básicas de Probabilidades e Estatística como as que são leccionadas nas disciplinas de Probabilidades e Estatística I e II e as noções de Análise Matemática leccionadas nas disciplinas de Análise Matemática I A a IV A.
Conteúdo
1. A representação diádica de um número real: propriedades. As funções de Bernoulli e de Rademacher. A lei forte e a lei fraca dos grandes números para variáveis de Bernoulli. Modelo de Kolmogorov. 2. O integral de Lebesgue: sigma - álgebras, medidas positivas, funções mensuráveis, integrais de funções mensuráveis, teoremas de convergência. A medida de Lebesgue; cálculo de integrais relativamente à medida de Lebesgue. A esperança matemática. 3. Os espaços de funções integráveis: desigualdade de Hölder e Minkowski; carácter completo dos espaços de funções integráveis. 4. O espaço das funções de quadrado integrável; existência da melhor aproximação neste espaço. 5. Independência: lei de 0-1 de Kolmogorov. 6. Uma lei forte e uma lei fraca dos grandes números. 7. Funções características: um teorema do limite central.
Bibliografia
- D. Williams, Probability with Martingales, Cambridge University Press 1991.
- • D. W. Stroock, A Concise Introduction to the Theory of Integration, second edition, Birkhäuser 1994.
- E. H. Loeb, M. Loss, Analysis, American Mathematical Society, 1997.
Método de ensino
1-Aulas
2-Sessões de problemas
3-Avaliação contínua com mini testes
Método de avaliação
Há avaliação contínua. Esta compõe-se de mini testes que integram de duas questões, uma teórica e outra prática, realizados com a frequência possível (idealmente de duas em duas semanas). Se se realizarem N mini testes, consideram-se as N-1 melhores notas cuja média dá origem a ACmnt. Poderá haver testes cujas classificações serão Ta e Tb sendo que nesse caso teremos AC=Max(ACmnt, 0.5(0.5 Ta+0.5 Tb)+ 0.5ACmnt). Há exame obrigatório cuja nota é E. A nota final NF é: NF = Max (E, (E+AC)/2). Poderá haver chamadas nas aulas, tendo uma prestação aceitável do aluno uma bonificação a adicionar à nota final.