Álgebra Universal e Reticulados
Código
8529
Unidade Orgânica
Faculdade de Ciências e Tecnologia
Departamento
Departamento de Matemática
Créditos
6.0
Professor responsável
Júlia Maria Nunes Loureiro Vaz de Carvalho
Horas semanais
1
Total de horas
56
Língua de ensino
Português
Objectivos
Pretende-se que o estudante adquira conhecimentos básicos de Álgebra Universal e Teoria de Reticulados, o que permitirá estudos futuros mais aprofundados na área e o estudo das aplicações à ciência da computação teórica. Pretende-se, ainda, que o estudante encare estruturas estudadas ao nível do 1º ciclo como exemplos de álgebras no sentido agora estabelecido e reconheça que muitos resultados provados anteriormente para cada uma delas são corolários de resultados estabelecidos neste contexto. O estudante deve também reconhecer a interligação entre a Álgebra Universal e a Teoria de Reticulados.
Pré-requisitos
Conhecimentos básicos sobre algumas estruturas algébricas, nomeadamente, grupos e anéis.
Conteúdo
1. Conjuntos parcialmente ordenados. Reticulados. Reticulados completos. Reticulados algébricos. Reticulados modulares. Reticulados distributivos. Reticulados de Boole e álgebras de Boole.
2. Álgebras. Homomorfismos. Subuniversos e subálgebras. Congruências. Produtos directos.
3. Teorema do Homomorfismo e teoremas do isomorfismo. Congruências factor e álgebras directamente indecomponíveis. Produtos subdirectos. Álgebras subdirectamente irredutíveis e álgebras simples.
4. Operadores de classe e variedades. Teorema de Tarski.
5. Álgebras livres. Termos and álgebras-termo. Identidades. Teorema de Birkhoff.
Bibliografia
1 – Burris, S. & Sankappanavar, H. P. – A Course in Universal Algebra – Springer Verlag, New York, 1981.
2 – Davey, B. A. & Priestley, H. A. – Introduction to Lattices and Order, Cambridge Mathematical Textbooks, 1990.
3 – Denecke, K. & Wismath, S. L. – Universal Algebra and Applications in Theoretical Computer Science, Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, Florida, 2002.
4 – Gratzer, G. – General Lattice Theory, Birkhauser Verlag, Basel, 1978.
5 – McKenzie, R. N. & McNulty, G. F. & Taylor, W. F. – Algebras, Lattices, Varieties Vol. I – Wadsworth & Brooks, California, 1987.
Método de ensino
A disciplina tem dois alunos inscritos.
Cada aluno é orientado para desenvolver o seu estudo autonomamente. Uma vez por semana (mais vezes, se necessário) tem lugar uma aula na qual serão esclarecidas dúvidas, corrigidos exercícios entretanto disponibilizados e, se necessário, apresentadas sugestões para a sua resolução.
A aula terá uma duração que permita cumprir os objectivos expostos no parágrafo anterior.
Será disponibilizado apoio tutorial.
Método de avaliação
1. Avaliação contínua:
Dois trabalhos escritos consistindo cada um na resolução de um conjunto de problemas. A classificação obtida em cada trabalho tem um peso de 20% na classificação por avaliação contínua (CAV). O primeiro trabalho deve ser entregue até dia 4 de Abril e o segundo até dia 3 de Maio.
Um teste a realizar no fim do período de aulas. A classificação obtida neste tem um peso de 60% na classificação por avaliação contínua. Este teste realizar-se-á no dia 31 de Maio.
Se CAV for inferior, ou igual, a 9,4 o aluno não obteve aprovação através da avaliação contínua e pode apresentar-se a exame. Se CAV for superior, ou igual, a 9,5 o aluno fica aprovado com essa classificação, arredondada às unidades.
2. Exame:
Todo o aluno ainda não aprovado na disciplina pode apresentar-se a exame.
Se a classificação obtida na prova entregue for inferior, ou igual, a 9,4 o aluno reprova. Se a classificação obtida na prova entregue for superior, ou igual, a 9,5 o aluno fica aprovado com essa classificação, arredondada às unidades.