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Faculdade de Ciências e Tecnologia

Análise Funcional

Código

8533

Unidade Orgânica

Faculdade de Ciências e Tecnologia

Departamento

Departamento de Matemática

Créditos

6.0

Professor responsável

Oleksiy Karlovych

Horas semanais

1

Total de horas

56

Língua de ensino

Português

Objectivos

Aquisição dos conhecimentos básicos de análise funcional e de teoria dos operadores  que permitam o estudo da formulação fraca das equações diferenciais, e respectivo tratamento numérico, em espaços de Sobolev ou noutros espaços funcionais convenientes.

Pré-requisitos

Nenhum, para além da formação básica fornecida por uma licenciatura em Matemática ou equivalente.

Conteúdo

  1. Teoremas básicos que envolvem funções contínuas: Teoremas de Uryshon, de Arzèla-Ascoli; de Stone-Weierstrass, de Tietze e de Baire.
  2. Conjuntos convexos, seminormas e Teorema de Hahn-Banach,.
  3. Espaços normados. Generalidades. Produtos, quocientes e somas. Exemplos. Operadores lineares contínuos. Teorema da limitação uniforme e Teorema de Banach-Steinhaus. Teorema da aplicação aberta e Teorema do gráfico fechado. Espaços de Hilbert.
  4. Dualidade. Topologia fraca e topologia enfraquecida. Espaços reflexivos. Teorema de Alaoglu. Separabilidade e métrica. Operadores transpostos. Aniquiladores. Operadores adjuntos em espaços de Hilbert. Exemplos.
  5. Operadores compactos. Algumas noções espectrais. Operadores auto-adjuntos limitados num espaço de Hilbert. Forma canónica de um operador auto-adjunto compacto. Operadores normais compactos. Problema de Sturm-Liouville.
  6. Elementos de teoria das distribuições:derivação, convergência de sucessões, convolução, transformada de Fourier.

Bibliografia

  1. H. Brezis, Analyse Fonctionnelle: théorie et applications. Masson.
  2. W. Rudin, Functional Analysis. MacGraw-Hill.
  3.  N. Dunford & J.T. Shwartz, Linear Operators, vol. I. Interscience.
  4. G.F. Simmons, Introduction to Topology and Moder Analysis, McGraw-Hill.

Método de ensino

Orientação tutorial do aluno, com indicações sobre matérias a estudar, resolução de problemas mais delicados e esclarecimento de dúvidas sobre a resolução de outros problemas.

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