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Faculdade de Ciências e Tecnologia

Complementos de Análise Numérica

Código

8534

Unidade Orgânica

Faculdade de Ciências e Tecnologia

Departamento

Departamento de Matemática

Créditos

6.0

Professor responsável

Nadir Arada

Horas semanais

1

Total de horas

56

Língua de ensino

Português

Objectivos

Pretende-se complementar os conhecimentos de Análise Numérica  adquiridos a nível da licenciatura de modo a fornecer ao aluno uma base suficientemente sólida e alargada de métodos numéricos.

Pré-requisitos

1º Ciclo em Matemática ou equivalente.

Conteúdo

1. Revisões

  1. Interpolação polinomial; Integração numérica (fórmulas de Newton–Cotes );
  2. Resolução de equações não lineares e de sistemas de equações não lineares;
  3. Resolução de sistemas de equações lineares (método de Gauss, de decomposição LU, iterativo geral, Jacobi e Gauss-Seidel);
  4. Resolução numérica de equações diferenciais ordinárias (métodos de Taylor, Runge –Kutta e Adams)

2. Resolução numérica de equações diferenciais ordinárias

  1. Métodos de passo simples e passo múltiplo;
  2. Erros de truncatura; Consistência, convergência e estabilidade; Controlo do erro e método de Runge-Kutta-Fehlberg.
  3. Métodos predictores-correctores; Controlo do passo.
  4. Sistemas de equações diferenciais ordinárias. Equações diferenciais ordinárias de ordem superior. Equações stiff.

3. Resolução numérica de equações diferenciais com condições de fronteira

  1. Shooting method (para problemas lineares e não lineares).
  2. Métodos de diferenças finitas (para problemas lineares e não lineares).
  3. Método de Rayleigh-Ritz.

4. Integração numérica

  1. Regras com valores das derivadas; Regras de Gauss; Integração adaptativa; Método de Romberg; Integrais impróprios; Integrais múltiplos.

5. Resolução numérica de sistemas de equações lineares

  1. Factorizações triangulares (LU, Doolittle, Crout, LDU). Sistemas com matrizes especiais (simétricas, simétricas definidas positivas, banda, tridiagonais, esparsas),
  2. Solução por blocos. Métodos de relaxação. Aceleração polinomial.
  3. Métodos de descida. Método dos gradientes conjugados. Sistemas de equações sobredeterminados.

6. Aproximação de funções

  1. Aproximação polinomial (polinómios ortogonais);
  2. Aproximação trigonométrica (transformadas de Fourier);
  3. Aproximação racional.
  4. Aproximação por splines (splines naturais, splines completos, B-splines).

7. Valores próprios e vectores próprios

  1. Método das potências,
  2. Métodos de Jacobi, tridiagonalização de matrizes.


Bibliografia

  1. P.Lascaux, R.Théodor, Analyse Numérique Matricielle Appliquée a l’Art de l’Ingénieur, Masson
  2. Heitor Pina, Métodos Numéricos, Mac Graw Hill
  3. E. K. Blum, Numerical Analysis and ComputationTheory and Practice, Addison-Wesley Publishing Company
  4. Richard Burden,Douglas Faires, Numerical Analysis, ITP
  5. Lothar Collatz, The Numerical Treatment of Differential Equations, Springer-Verlag      

Método de ensino

Aulas teórico-práticas e aulas em laboratório informático.

Método de avaliação

A avaliação consiste na realização de um exame final e de dois trabalhos computacionais individuais a realizar e discutir durante o semestre . 

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