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Faculdade de Ciências e Tecnologia

Teoria da Medida

Código

8536

Unidade Orgânica

Faculdade de Ciências e Tecnologia

Departamento

Departamento de Matemática

Créditos

6.0

Professor responsável

Manuel Leote Tavares Inglês Esquível

Horas semanais

1

Total de horas

56

Língua de ensino

Português

Objectivos


Nesta disciplina pretende-se fornecer os conhecimentos básicos de Teoria da Medida indispensáveis a uma formação de segundo ciclo em Análise Numérica e Equações Diferenciais. O aluno deverá familiarizar-se com os conceitos gerais da Integração de Lebesgue (descritos no ponto 15. deste documento) bem como dominar as diferentes técnicas de cálculo e de raciocínio a eles associados. 

Pré-requisitos


Os estudantes devem ter os conhecimentos adquiridos num 1º Ciclo em Matemática ou equivalente.

Conteúdo

  1. σ-Álgebras

Limites superiores e inferiores de uma sucessão de partes de um conjunto. σ-Álgebras sobre as partes de um conjunto. Definição e propriedades elementares. σ-Álgebras gerada por um conjunto de partes. σ-Álgebra boreliana de um espaço topológico.

 

  1. Medidas positivas sobre um espaço mensurável

A recta real completada enquanto espaço topológico compacto. Definição e propriedades elementares das medidas. Espaços mensuráveis completos. Medidas de contagem. Medida exterior. Construção da medida de Lebesgue na recta real. Unicidade da medida de Lebesgue.

 

  1. Aplicações mensuráveis

Definições e propriedades elementares, critérios de mensurabilidade e operações sobre as funções. σ-Álgebras imagem e imagem recíproca por uma função (“push forward” e “pull-back”). Lema de transporte. Álgebra das funções simples. Sucessões de funções mensuráveis e teorema fundamental de aproximação. Teorema de Egoroff.

 

  1. Funções integráveis

Integral de uma função simples, integral de uma função mensurável positiva. Espaço L1(?). Caso da medida de Lebesgue e caso de uma medida de contagem: as séries numéricas enquanto integrais no sentido de Lebesgue. Difeomorfismos e teoremas de mudança de variáveis.

 

  1. Teoremas de convergência e aplicações

Lema de Fatou e teorema de Beppo-Levi. Teoremas de convergência dominada: teorema de Lebesgue, teoremas de continuidade sob sinal de soma.

 

  1. Os espaços Lp(?) e Lp(?)

Espaço Lp(?), 1≤p≤+oo. Desigualdades de Cachy-Schwartz, Hölder e Minkovsky. Espaços vectoriais semi-normados. Passagem ao quociente e espaços Lp(?). Ínfimo e supremo essencial: os espaços Loo(?) e Loo(?). Completude dos espaços Lp(?).

 

  1. Produtos de medidas

Produtos de σ-Álgebras. Mensurabilidade dos cortes de um conjunto e das secções de uma função. Produto tensorial de duas medidas σ finitas.: teorema de Fubini-Tonelli e teorema de Fubini-Lebesgue. A medida de Lebesgue em dimensão superior e em sub-variedades.

 

  1. Teoremas de representação

Formas lineares positivas sobre o espaço das funções contínuas de suporte compacto. Teorema de Uryshon. Teorema de Lusin. Primeiro teorema de representação de Riesz. Medidas de Radon. Medidas absolutamente contínuas. Teorema de Radon-Nikodym. Segundo teorema de representação de Riesz. Derivadas de medidas. Espaço BV das funções de variação limitada.

Bibliografia

[1]  Walter Rudin – Real and complex analysis – McGrawhill in higher mathematics

[2] Elias Stein and Rami Shakarchi, Real Analysis, Princeton lectures in analysis 

Método de ensino

Aulas teórico-práticas participadas, com exposição oral de matéria e resolução de problemas.

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