Análise Estocástica (D)
Código
9912
Unidade Orgânica
Faculdade de Ciências e Tecnologia
Departamento
Departamento de Matemática
Créditos
6.0
Professor responsável
Manuel Leote Tavares Inglês Esquível
Língua de ensino
Português
Objectivos
A análise estocástica recobre actualmente uma variedade muito grande de assuntos que se ramificam nas aplicações, por exemplo, em física matemática ou em matemática financeira. Pretende-se explorar dois desses assuntos, o cálculo de Malliavin com as aplicações à matemática financeira e a análise do ruído branco com aplicações à física matemática no que toca às equações da hidrodinâmica.
Conteúdo
- A integração estocástica relativamente a semi-martingalas.
- Medidas em espaços de dimensão infinita: teoria de Kolmogorov-Bochner-Minlos; produto dirigido e limite projectivo; medidas em espaços vectoriais. Invariância e quasi-invariância: medidas invariantes num grupo; medidas Gaussianas.
- Espaços de Sobolev Gaussianos e cálculo estocástico das variações: caos de Wiener e integrais estocásticos; o operador de derivação; o integral de Skorohod; o semigrupo de Ornstein-Uhlenbeck; espaços de Sobolev e a equivalência de normas. Regularidade das leis de probabilidade. Aplicacões à matemática financeira: cálculo de parâmetros de elasticidade de opções via esperanças condicionais.
- Análise do ruído branco: espaços de Wiener abstractos; espaços com topologias definidas por famílias numeráveis de semi-normas de Hilbert; espaços nucleares e ternos de Guelfand; o espaço do ruído branco; uma reconstrução do espaço de Schwartz; os espaços de funções generalizadas; exemplos; a transformada S; operadores diferenciais.
- Aplicações às equações com derivadas parciais.
Bibliografia
- Y. Yamasaki, Measures On Infinite Dimensional Spaces, World Scientific, 1985.
- P. Malliavin, Integration and Probability, Springer Verlag, 1995.
- K. Itô, Foundations of Stochastic Differentail Equations in Infinite Dimensional Spaces, SIAM 1984.
- D. Nualart, The Malliavin Calculus and Related Topics, Springer, 1995.
- H.-H. Kuo, White Noise Distribution Theory, CRC Press, 1996