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Faculdade de Ciências e Tecnologia

Análise Matemática I

Código

11504

Unidade Orgânica

Faculdade de Ciências e Tecnologia

Departamento

Departamento de Matemática

Créditos

6.0

Professor responsável

José Maria Nunes de Almeida Gonçalves Gomes, Paula Alexandra da Costa Amaral

Horas semanais

6

Total de horas

80

Língua de ensino

Português

Objectivos

Domínio das técnicas básicas necessárias à Análise Matemática de funções reais de variável real.

Pretende-se que os alunos adquiram não só capacidades de cálculo fundamentais para a aprendizagem de alguns dos conhecimentos leccionados na Física, Química e outras disciplinas de Engenharia, mas também que desenvolvam métodos sólidos de raciocínio lógico e de análise.

Sendo a primeira disciplina de Análise Matemática, consiste numa introdução a alguns dos conceitos que serão aprofundados e generalizados em disciplinas subsequentes do plano curricular.

Pré-requisitos

O aluno deve dominar os conhecimentos matemáticos ministrados até à conclusão do Ensino Secundário.

Conteúdo

1. Topologia elementar da recta real.

1.1 Vizinhança de um Ponto. Ponto Interior, Exterior, Fronteiro, Isolado, Aderente e de Acumulação.

1.2 Conjunto Aberto, Fechado, Limitado e Compacto.

 

2. Indução Matemática e sucessões

2.1 Princípio de Indução Matemática.

2.2 Limites de sucessões. Álgebra de limites. Subsucessões.Sublimites. Teorema das Sucessões Enquadradas. Teorema de Bolzano-Weierstrass e outros teoremas fundamentais. Sucessões de Cauchy.

3. Limites e Continuidade em R

3.1 Llimite segundo Cauchy e limite segundo Heine.Álgebra de limites.

3.2 Continuidade de uma Função num Ponto e num Conjunto. Prolongamento por Continuidade. Teorema de Bolzano e teorema de Weierstrass. Continuidade da Função Composta e Continuidade da Função Inversa. Funções Trignométricas Inversas.

4. Cálculo Diferencial em R

4.1 Definição de Derivada. Interpretação Física e Geométrica. Diferenciabilidade. Álgebra das Derivadas. Derivada da Função Composta e Derivada da Função Inversa. Derivadas das Funções Trignométricas Inversas. Teorema de Rolle, Teorema de Lagrange. Derivada e Monotonia. Teorema de Draboux e Teorema de Cauchy. Indetermenições e Regra de Cauchy.

4.2 Teorema de Taylor e aplicações ao estudo de extremos e concavidades de funções.

5. Cálculo Integral em R

5.1 Primitivas. Primitivação por Partes. Primitivação por Substituição. Primitivação de Funções Racionais. Primitivação de Funções Irracionais e de Funções Transcendentes.

5.2 Integral de Riemann. Teorema do Valor Médio. Teorema Fundamental do Cálculo Integral. Regra de Barrow. Integração por Partes e integração por Substituição. Aplicação ao Cálculo de Áreas.

5.3 Integrais impróprios. Critérios de Convergência.

Bibliografia

Texto adoptado

  1. Ana Alves de Sá e Bento Louro, Cálculo Diferencial e Integral em

Bibliografia Recomendada

  1. Alves de Sá, A. e Louro, B. - Cálculo Diferencial e Integral em , Exercícios Resolvidos, Vol. 1, 2, 3
  2. Anton, H. - Cálculo, um novo horizonte, 6ª ed., Bookman, 1999
  3. Campos Ferreira, J. - Introdução à Análise Matemática, Fundação Calouste Gulbenkian, 1982
  4. Sarrico, C. - Análise Matemática, Leituras e Exercícios, Gradiva, 1997
  5. Larson, R.; Hostetler, R.; Edwards, B. - Calculus with Analytic Geometry, 5ª ed, Heath, 1994
  6. Figueira, M. - Fundamentos de Análise Infinitesimal, Textos de Matemática, vol. 5, Departamento de Matemática, FCUL, 1996

Método de ensino

As aulas teóricas consistem na exposição da matéria, que é ilustrada com exemplos de aplicação.

As aulas práticas consistem na resolução de exercícios de aplicação dos métodos e resultados apresentados nas aulas teóricas.

Quaisquer dúvidas são esclarecidas no decorrer das aulas, nas sessões semanais destinadas ao atendimento aos alunos ou ainda em sessões combinadas directamente entre aluno e professor.

Método de avaliação

Análise Matemática I

Métodos de Avaliação

1º Semestre do Ano Lectivo 2017/2018

1. Requisitos

Só poderão apresentar-se a qualquer das provas escritas e consequentemente ser avaliados nesta unidade curricular, os alunos que:

i. satisfaçam o critério de Frequência, ou dele estejam dispensados;

ii. se tenham inscrito para realizar a prova através da página do Clip da unidade curricular, até uma semana antes da respectiva data, e entregando um caderno de prova em branco à entrada da sala no dia da prova;

iii. no acto da prova sejam portadores de um documento oficial de identificação, onde conste uma fotografia (por exemplo, Cartão de Cidadão,  Bilhete de Identidade, Passaporte, algumas versões de Cartão de Estudante).

2. Frequência

Será concedida Frequência a qualquer aluno que não falte, injustificadamente, a mais do que três das aulas práticas leccionadas, correspondentes ao turno em que se encontra inscrito. Qualquer aluno não dispensado da obtenção de Frequência deverá estar inscrito a um dos turnos práticos da unidade curricular, desde o primeiro dia de aulas do semestre.

Estão dispensados da obtenção de Frequência todos os alunos que possuam um estatuto especial que contemple a referida dispensa (trabalhador estudante ou qualquer outro reconhecido pelas regras gerais de avaliação da FCT-UNL) ou que tenham obtido frequência no semestre anterior, sendo esta dispensa válida apenas no primeiro semestre. 

3. Avaliação das práticas

Os docentes das aulas práticas atribuirão, no final do semestre, uma classificação de Avaliação das Práticas, AP, de 1, 2, 3 ou 4 pontos a cada um dos seus alunos com Frequência. Aos alunos dispensados da obtenção de Frequência, e a quem o docente das aulas práticas não tenha atribuído classificação AP, é atribuída, para efeitos da utilização da tabela de conversão, AP = 2. 

4. Avaliação contínua

Ao longo do semestre serão realizados três testes. Para poder realizar qualquer prova, o aluno tem de satisfazer o critério de Frequência, ou dele estar dispensado. Nas condições anteriores, seja T1 a classificação obtida no primeiro teste, T2 a obtida no segundo e T3 a obtida no terceiro (todas em valores não arredondados). Considere-se

AC = (T1+T2+T3)/3.

Se AC < 7.5 ou T3 < 7.0 o aluno é reprovado. Se AC ≥ 7.5 e T3 ≥ 7.0 a classificação final ACF será obtida por ponderação de AC, depois de arredondada às unidades, com a classificação da Avaliação das Práticas, aplicando a Tabela 1.

Para ser aprovado por Avaliação Contínua, o aluno terá que obter, pelo menos, 7.0 valores no terceiro teste e classificação final, ACF, superior ou igual a 10 valores. Se 10 ≤ ACF ≤ 16, o aluno fica aprovado com a classificação final ACF. Se ACF ≥ 17, o aluno poderá optar entre ficar com a classificação final de 16 valores ou realizar uma prova complementar para defesa de nota.

5. Época de recurso

Podem apresentar-se a exame na época de recurso todos os alunos inscritos, e ainda não aprovados na disciplina, que estejam nas condições do ponto 2.

Este exame consiste numa prova escrita com duração de 3 horas que versa sobre a totalidade dos conteúdos da disciplina.

Ao exame será atribuída uma classificação entre 0 e 20 valores (E), estando o aluno aprovado à disciplina, se a classificação final EF, obtida por ponderação de E, depois de arredondada às unidades, com a classificação da Avaliação das Práticas, aplicando a Tabela 1, for superior ou igual a 10 valores.

Em alternativa, o aluno poderá efectuar a melhoria de apenas um dos testes da disciplina e será classificado de forma igual à descrita para os testes na Avaliação Contínua. A obtenção de aprovação à disciplina e a determinação da respectiva classificação final seguirá neste caso as regras de aprovação por Avaliação Contínua, substituindo-se a classificação do teste repetido pela nova classificação e mantendo-se inalteradas as restantes. Os alunos ao inscreverem-se para esta prova deverão previamente indicar que tipo de avaliação pretendem efectuar.

Se 10 ≤ EF ≤ 16, o aluno fica aprovado com a classificação final EF. Se EF ≥ 17, o aluno poderá optar entre ficar com a classificação final de 16 valores ou realizar uma prova complementar para defesa de nota.

Tabela 1: Conversão de nota por avaliação das práticas

Nota da avaliação das práticas (AP)

    1

     2

     3

     4

 

 

                ACF ou EF

Nota da prova escrita

(AC ou E)

 

   8  

     8

      8

      8

      10

   9

     9

      9

    10

      11

 10

   10

    10

    11

      12

 11

   10

    11

    12

      13

 12

   11

    12

    13

      14

 13

   12

    13

    14

      14

 14

   13

    14

    14

      15

 15

   14

    15

    15

      16

 16

   15

    16

    16

    Oral

 17

  Oral

   Oral

   Oral

    Oral

 18

  Oral

   Oral

   Oral

    Oral

 19

  Oral

   Oral

   Oral

    Oral

 20

  Oral

   Oral

   Oral

    Oral

 

7. Melhoria de nota

Os alunos poderão realizar exame de melhoria de nota na data correspondente à época de recurso. Todo o aluno que pretenda fazê-lo deve cumprir, para esse efeito, as formalidades legais de inscrição.

A classificação final será igual à obtida no exame, devidamente arredondada às unidades. Se esta classificação for superior ou igual a 17 valores, o aluno poderá optar entre ficar com a classificação final de 16 valores ou realizar uma prova complementar para defesa de nota.

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